Пример 2.

Стрелок производит выстрел в цель. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна р=0,4. Пусть случайная величина X – число попаданий в цель при одном выстреле. Составить закон распределения числа попаданий в цель (случайная величина X). Найти для X ее среднее значение (математическое ожидание M(X)), дисперсию D(X).

Построить имитационную модель, моделирующую процесс многократной стрельбы. Вычислить количество попаданий и промахов и их долю от общего количества повторений. Найти среднее количество попаданий и средний разброс относительно среднего.

Расчет провести в MS Excel, повторив имитацию не менее 500 раз. Сравнить полученные результаты с соответствующими теоретическими характеристиками.

Решение: Пусть случайная величина X – число попаданий в цель при одном выстреле. Случайная величина X может принимать следующие значения: х₁=0, х₂=1.

Для составления закона распределения случайной величины X найдем вероятности того, что случайная величина X примет соответствующие значения.

Вероятности события (X=0), то есть Р(Х=0) равна р₂ =1- р₁=0,6 - вероятности промахнуться при одном выстреле.

Вероятности события (X=1), то есть Р(Х=1) равна р₁=0.4 - вероятности попасть при одном выстреле.

Таким образом, искомая случайная величина задается таблицей

xi	0	1
pi	0.6	0.4

Чтобы обеспечить реализацию этой случайной величины в MS Excel используем функцию СЛЧИС(), которая вычисляет значения равномерно распределенной случайной величины в интервале [0;1]. Пусть число является значением функции СЛЧИС(), тогда величина , вычисленная по правилу

будет иметь искомое распределение.

Решение приведено на рис.2.1. Каждому выстрелу соответствует одна строчка таблицы. В интервале $В$27:$В$526 содержатся реализации равномерно непрерывно распределенной случайной величины, полученные с помощью функции «СЛЧИС()». В интервале $C$27:$C$526 содержатся реализации искомой случайной величины, т.е. результат выстрела («0» или «1»). Все остальные расчеты аналогичны примеру 1.

Рис.2.1.

Пример 3.

Стрелок производит три выстрела в цель. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,4. Составить закон распределения числа попаданий в цель (случайная величина X). Найти среднее значение (математическое ожидание) M(X), дисперсию D(X).

Построить имитационную модель, моделирующую процесс многократной стрельбы сериями (в каждой серии 3 выстрела). Вычислить количество попаданий и их долю от общего количества повторений. Найти среднее количество попаданий и средний разброс относительно среднего.

Расчет провести в MS Excel, повторив имитацию не менее 500 раз. Сравнить полученные результаты с соответствующими теоретическими характеристиками.

Решение:

Решение этой задачи без процесса имитации приведены в описании лаб.раб.№1. Приведем только часть решения связанную с имитацией.

Пусть случайная величина X – число попаданий в цель при трех выстрелах.

Обозначим n – число выстрелов, р- вероятность попадания при каждом выстреле, q - вероятность промаха при каждом выстреле q =1- р . По условию имеем р=0,4 ; q=0,8; n=3.

Заметим, что при n=3 случайная величина X может принимать следующие значения: х₁=0, х₂=1, х₃=2, х₄=3. Отметим, что испытания проводятся по схеме Бернулли. Действительно, число испытаний конечно и каждое испытание является независимым. В каждом испытании наблюдается либо «успех» (попал в цель), либо «неуспех» (не попал в цель или промахнулся). Вероятность удачи в каждом испытании постоянна.

Решение приведено на рис.3.1. Организуем имитацию следующим образом, чтобы каждая строка соответствовала одному испытанию (серии), а каждая серия состоит из трех выстрелов. Результат каждого выстрела кодируем «0»-промах, «1»-попал. Тогда искомая случайная величина есть сумма результатов трех выстрелов в строке.

Рис.3.1.

Все остальные расчеты аналогичны примерам 1 и 2.