Часть 2. Регрессионный анализ.
Регрессионный анализ применяют для изучения функциональной зависимости количественного признака Y от количественных признаков x(1), x(2), … , x(k). Эту зависимость называют регрессионной или, кратко, регрессией. Регрессионный анализ заключается в подборе коэффициентов уравнения для набора наблюдений. Таким образом, при получении коэффициентов для уравнения регрессии, экспериментальные данные аппроксимируются линейным уравнением вида:
Y=a0+a1x1+a2x2+…+a16x16, где Y-зависимая переменная, x1, x2,…,x16 – независимые переменные, a1,a2,…,a16.– найденные нами коэффициенты.
Степень близости аппроксимации экспериментальных данных выбранной функции оценивается коэффициентом детерминации (R2). Чем больше коэффициент детерминации (стремится к единице), тем лучше (если 0.8 <R2 < 0.95 – удовлетворительная аппроксимация (модель в целом адекватна описываемому явлению), если R2< 0.6 – точность аппроксимации недостаточна и модель требует улучшения).
Обычно перед регрессионным анализом проводят корреляционный анализ для того, чтобы найти между какими параметрами существует зависимость.
Простейшим способом найти уравнение регрессии в Excel, особенно если независимая переменная одна, служит аппроксимация экспериментальных данных с использованием линия тренда.
Пример. Имеются результаты проводившейся у 8 больных эффективной криодеструкции кожных рубцов различной толщины. Необходимо рассмотреть возможность на основании этих данных определять предполагаемое время криодеструкции. В данном случае необходимо провести регрессионный анализ для определения степени воздействия времени криодеструкции мин (независимая переменная) на толщину рубца мм (зависимая переменная).
№ |
Время, мин |
Толщина рубца, мл |
1 |
2,4 |
17 |
2 |
0,6 |
3 |
3 |
1,7 |
12 |
4 |
1,0 |
5 |
5 |
1,6 |
8 |
6 |
1,5 |
9 |
7 |
1,8 |
14 |
8 |
3,0 |
20 |
Решение 1. При помощи линии тренда.
Введите исходные данные. Постройте точечную диаграмму исходных данных. При помощи правой кнопки мыши выберите команду: Добавить линию тренда.
Выберите из предложенных вариантов линейную функцию. На вкладке Параметры выберите: Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2). С использованием метода наименьших квадратов будет построена прямая, которая наилучшим образом аппроксимирует исходные данные. Автоматически просчитаются коэффициенты для уравнения и R2 , который равен 0,95 и показывает, что данное уравнение хорошо описывает исходные данные.
Решение 2. С использованием регрессионного анализа из Пакета анализа.
Выберите Сервис – Анализ данных – Регрессия. В диалоговом окне Входной интервал Y(зависимые данные) – диапазон, в котором введена Толщина рубца, Входной интервал X (независимые данные) – диапазон, в который введено время. В зависимости от того, выделяете ли вы заголовок у колонок, отметьте Метки. Укажите Выходной диапазон (т.е. выделите на свободном месте листа ячейку, начиная с которой будут выведены данные регрессии).
Интерпретация результатов. Значение коэффициентов регрессии находятся в столбце Коэффициенты и соответствуют Y-пересечение – это коэффициент уравнения а0, переменная X1 – это коэффициент уравнения а1. Значение R2 – квадрат характеризует, с какой степенью точности полученное регрессионное уравнение аппроксимирует исходные данные.
По результат регрессионного анализа уравнение регрессии: y=7.59x-1.9. Модель хорошо описывает исходные данные, т.к. R-квадрат = 0,95.