3. Линейные блоковые коды: определение и основные свойства.

Линейным блоковым кодом называется такой помехоустойчивый код, у которого l (l≥1)проверочные символы формируются путем суммирования по модулю два информационных символов (k≥1), расположенных на определенных позициях, а сумма двух кодовых последовательностей и произведение кодовой последовательности на элемент поля образуют также кодовые последовательности.

Линейный блочный код формирует:

1)К_раз=2^к разрешаемых кодовых комбинаций;

2)К_общ=2ⁿ общее количество кодовых комбинаций (мощность линейного блока кода);

3)К_запр=2^n-k=2^l запрещенных код-вых комбинаций, кол-во кот-рых определяет корректирующую способность ЛБК кода.

Основные свойства:

- линейность кода: линейность кода определяется специально выбираемой структурой кода. Линейность кода существенно упрощает процедуру кодирования и декодирования, позволяя выразить каждую кодовую последовательность в виде “линейной” комбинации небольшого числа выделенных кодовых последовательностей, так называемых базисных векторов;

- сумма по модулю два двух кодовых последовательностей также является кодовой последовательностью;

- линейный блоковый код всегда содержит кодовую последовательность, состоящую целиком из нулей;

- если сложить по модулю два некоторую кодовую последовательность со всеми кодовыми последовательностями, то снова получится множество всех кодовых последовательностей, расположенных, быть может, в другом порядке;

- вес кодовой последовательности (w_кп) всегда должен быть ≥d₀;

- вес проверочной части кодовой последовательности (w_кп.пр) должен быть всегда ≥ (d₀-1);

- вес суммы по модулю два двух разрешенных кодовых последовательностей

(w_∑кп) должен быть всегда ≥ (d₀-1), но допускается ≥(d₀-2);

- групповой двоичный линейный блоковый код полностью задается как

порождающей G_n,k(x), так и проверочной H_l,n(x) матрицами.

4. Порождающая матрица группового кода : определение, назначение, классификация и основные свойства.

Порождающая матрица G(x) представляет собой сокращенную форму записи кода, а именно количество строк G(x) определяет длину или кратность информационного блока (т. е. k). Количество столбцов G(x) определяет длину кодовой комбинации n. Вес строки G(x) определяет кодовое расстояние d и минимальное кодовое расстояние d₀.

Порождающая матрица G(x) имеет основное назначение для формирования кодовых последовательностей по принципу F(x)=Q(x)*G(x), где Q(x)=x^k-1+x^k-2+…+1 - блок передаваемых информационных символов в виде полинома, а F(x)= x^n-1+x^n-2+…+1 - полученная кодовая комбинация.

В общем виде порождающая матрица может быть записана так:

Представленную матрицу G(x) можно привести к каноническому виду:

Существует сокращенная запись канонической порождающей матрицы, а именно:

где I_k,k – единичная матрица рангом k*k, а R_(n-k),k – подматрица рангом (n-k)*k, составленная из (n-k) проверочных символов исходных кодовых последовательностей, т.е. она выполняет функции проверочной подматрицы.

Основные свойства G(x):

- вес строки должен быть ≥ d₀;

- сумма по модулю 2 двух строк должна быть равна d₀-1;

- строки и столбцы матрицы можно менять местами;

- порождающая матрица не должна содержать строк, состоящих из одних «0» или «1»;

- порождающая матрица не должна иметь двух одинаковых строк или столбцов;

- G^T(x)*H(x)=H^T(x)*G(x)=0.