3.2. Методические указания по выполнения отдельных частей курсовой работы Синтез корректирующих устройств

Синтез корректирующих устройств методом ЛАЧХ основан на знании желаемой ЛАЧХ проектируемой САУ в разомкнутом состоянии. ЛФЧХ при этом не рассматривается, так как система предполагается минимально-фазовой и при известной ЛАЧХ фазовая характеристика является заданной.

Желаемой ЛАЧХ называется такая ЛАЧХ, которой соответствует система с требуемыми показателями качества (время регулирования t_р, перерегулирование %, установившаяся ошибка е_уст). Задачей синтеза корректирующего устройства является выбор его структуры и параметров так, чтобы максимально приблизить ЛАЧХ скорректированной системы к желаемой.

В качестве желаемых часто выбирают так называемые оптимальные характеристики, являющиеся наилучшими в каком-либо смысле. Системы с такими характеристиками называют оптимальными.

Передаточная функция и частотная характеристика оптимальной системы.

При построении желаемых ЛАЧХ разомкнутой системы используется понятие оптимальной системы. Для каждой САУ можно выбрать свои условия оптимальности. Здесь назовем процесс регулирования при ступенчатом задающем воздействии оптимальным, если он является монотонным и время регулирования t_р является минимальным при ограниченной второй производной входной величины x(t).

Обозначим .

Время переходного процесса оптимальной системы обозначим через _min.

Процесс регулирования будет оптимальным, если ускорение g имеет максимальное значение g_m и меняет знак при , т.е.

Тогда при (1)

при (2)

x₀(t) – управляемая величина в оптимальном процессе.

При и тогда для можно записать в виде

Объединяя (1)-(3) с помощью единичных ступенчатых функций, получим

Из зависимости () можно получить

Будем считать, что система воспроизводит ступенчатый сигнал без ошибки, т.е.

В зависимости от величины входного воздействия будем изменять

Пусть .

Тогда ,

откуда ,

это минимальное время отработки ступенчатого сигнала g₀ с ускорением управляемой величины, не превосходящем g_m.

Найдем передаточную функцию замкнутой оптимальной системы

Учитывая (4), (5), получим

Определим передаточную функцию разомкнутой системы. Имеем

откуда

и тогда из (6) и (7) найдем

Полученная передаточная функция является трансцендентной функцией p. Это означает, что принятая форма оптимального процесса регулирования, определяемая выражением (4) не может быть точно реализована линейной стационарной САУ. Однако она определяет тот предел, к которому следует приближать процессы в линейной системе с постоянными параметрами.

Зависимость (8) позволяет определить ЛАЧХ оптимальной САУ:

.

Из () можно найти - частоту среза оптимальной системы, такую, что . Имеем

.

Наклон ЛАЧХ при равен –20 дб/дек. Чем ближе будут ЛАЧХ проектируемой САУ к ЛАЧХ оптимальной системы, тем ближе будет проектируемая система к оптимальному варианту.

Построение желаемой ЛАЧХ основывается, во-первых, на свойствах оптимальных характеристик и, во-вторых, на связи переходного процесса с ВЧХ системы. При этом задающее воздействие полагается ступенчатым и учитываются следующие требования, предъявляемые к системе:

-время регулирования t_{p max},

-перерегулирование %,

-максимальное значение второй производной регулируемой величины по времени g_m,

-установившееся значение регулируемой величины,

-порядок астатизма скорректированной системы r.

П ри построении желаемой ЛАЧХ в первом приближении будем считать, что она может быть заменена асимптотами. В ЛАЧХ условно можно выделить низко частотную, среднечастотную и высокочастотную части (см. рис.1)

Рис.1

Здесь АВ - низкочастотная, CD - среднечастотная, EF - высокочастотная части ЛАЧХ.

Основные правила построения желаемой ЧХ.

Основные правила построения желаемой ЛАЧХ заключаются в следующем: 1. Определяем значение коэффициента передачи разомкнутой скорректированной системы. Оно находится исходя из величины ошибки, возникающей из-за наличия задающего или возмущающего воздействия.

Ошибка воспроизведения задающего воздействия

а) статическая система, постоянное воздействие:

Если необходимо, чтобы было

,

то величина k должна удовлетворять условию

б) астатическая система, постоянное воздействие

и

в) астатическая система, задающее воздействие vt. Тогда

и, если , то

г) гармоническое входное воздействие с амплитудой А и частотой

.

Если необходимо, чтобы А_е<, то ЛАЧХ скорректированной системы должно удовлетворять условию

.

Ошибка, вызванная возмущающим воздействием, зависит от структурной схемы системы и места приложения воздействия. Однако обычно в результате получаем условие

Где k_гр – некоторое граничное значение. С учетом полученных

для конкретной системы условий (9) – (13) окончательно выбирается значение К коэффициента передачи разомкнутой системы .

2.Строим ЛАЧХ исходной ( не скорректированной системы) с коэффициентом передачи , найденным в п.1.Пусть

где К₀ – коэффициент передачи не скорректированной САУ

W₀(p) – дробно-рациональная передаточная функция и W₀(0)=1,

r₁ – порядок астатизма не скорректированной САУ .

П ри построении ЛАЧХ рассматривается передаточная функция

(4)

с измененным значением коэффициента передачи .(см. рис.2).

Рис.2

3.Строим низкочастотную и высокочастотную части желаемой ЛАЧХ . Низкочастотная часть строится , исходя из выбранного значения К и заданного порядка астатизма разомкнутой системы r . Уравнение низкочастотной асимптоты желаемой ЛАЧХ имеет вид

H_HЧ(w)=20lgK – 20r lg w ,т.е. низкочастотная асимптота имеет наклон – 20r дб/дек.

Высокочастотная часть должна совпадать с высокочастотной частью ЛАЧХ , соответствующей передаточной функции (14) или проходить параллельно ей (см. рис.3). Это обеспечивает максимальную простоту реализации корректирующего устройства.

Рис.3.

4.Строим среднечастотную часть желаемой ЛАЧХ с наклоном – 20дб/дек. (см. рис.4). Частота среза определяется из условия

Р ис.4.

(15)

В ( ) w_cm – минимальная частота среза , определяемая по времени регулирования ,

w_co – частота среза оптимальной системы .

Для определения w_co используется равенство

в котором величины g_m , g₀ являются исходными данными для синтеза . Выполнение условия

гарантирует , что в переходном процессе ускорение не превысит g_m .

Значение w_cm определяется с помощью рассмотренных ранее номограмм (см. рис.5), построенных для определенного типа ВЧХ .

Р ис.5.

По заданному перерегулированию определяем U_max и далее . Из последнего выражения имеем

и , приравнивая время регулирования заданному , получим минимальное значение частоты среза

.

При выполнении условия

время переходного процесса не превосходит заданное .

В некоторых случаях возможно , что

Основные правила построения желаемой ЧХ.

5. Определим U_min по формуле

U_min=1 – U_max .

6.По известным величинам U_max , U_min , пользуясь номограммой замыкания для ВЧХ , определяем избыток амплитуды H₃ и наименьшее допустимое значение избытка фазы (см. рис.6)

Р ис.6.