Найпростіші тригонометричні нерівності.

	a
sinx		arcsin	розв’яз- ків немає
sinx	розв’яз ків немає	-arcsin nЄZ	хЄR
cosx		-arccos	розв’яз- ків немає
cosx	розв’яз ків немає	arccos nЄZ	хЄR

tgx	arctga+
tgx	- +
ctgx
cgx	arcctga+

Обернені тригонометричні функції.

1. Арксинусом числа а називається таке число із проміжку , синус якого дорівнює а. (arcsin = , бо sin = і Є ).

2. Арккосинусом числа а називається таке число із проміжку , косинус якого дорівнює а. (arccos , бо cos і Є ).

3. Арктангенсом числа а називається таке число із проміжку , тангенс якого дорівнює а.

(arctg , бо і Є .)

4. Арккотангенсом числа а називається таке число із проміжку , котангенс якого дорівнює а. ( , бо і Є .)

Властивості обернених тригонометричних функцій.

1. , , .

2. , , arccos(-x)= - arccosx.

3. , xЄR, arctgx(-x)=-arctgx.

4. , xЄR, arcctgx(-x)= -arcctgx

Найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівень А.

Розв’язати рівняння:

1) ; 18) ;

2) ; 19) ;

3) ; 20) ;

4) ; 21) ;

5) ; 22) ;

6) ; 23) ;

7) ; 24) ;

8) ; 25) ;

9) ; 26) ;

10) ; 27) ;

11) ; 28) ;

12) ; 29) ;

13) ; 30) ;

14) ; 31) ;

15) ; 32) ;

16) ; 33) ;

17) ; 34) ;

35) .

Рівень Б.

36) ; 37) ;

38) ; 39) ;

40) ; 41) ;

42) ; 43) ;

44) ; 45) ;

46) ; 47) ;

48) ; 49) ;

50) .

Рівень В.

51) ; 52) ;

53) ;54)

55) ; 56) ;

57) ; 58) ;

Метод заміни змінних. Рівень а.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ;

Рівень Б.

18) ; 19) ;

20) ; 21) ;

22) ; 23) ;

24) ; 25) ;

26) ;

27) ;

28) ; 29) ;

Рівень B.

30) ;

31) ;

32) ;

33) ;

34) ;

35) ;

36) ;

37) ;

38) ;

39) ;

40) ;

41)

Однорідні тригонометричні рівняння та рівняння, які зводяться до них.

Рівень А.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6)

7) ;

8) ;

9) 5 ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) 3 ;

Рівень Б.

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) ; 27) ;

28) ; 29) ;

30) .

Рівень В.

31) ;

32) ; 33) ;

34) ;

35) ; 36)

37) ;

38) ;

39) ;

40) .

Розв’язування тригонометричних рівнянь розкладанням на множники та виділення повного квадрата.

Рівень А.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6)

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ;

12) ;

13) ; 14) ;

15) ;

16) .

Рівень Б.

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ;

22) ; 23) ;

24) ;

25) ;

26) ;

27) .

Рівень В.

28) ;

29) ;

30) ;

31) ; 32) ;

33) ; 34) ;

35) ;

36) ;

37) ;

38) .

Розв’язування лінійних рівнянь відносно sinx і

сosx.

Рівняння виду , (1) де а, в і с-сталі коефіцієнти, називається лінійним відносно sinx і cosx.

І спосіб. Зведення до однорідного відносно .

і , то рівняння (1) можна подати так:

, звідки

.

ІІ спосіб. Якщо рівняння (1) не має розв’язків х= , де

- довільне ціле число, тобто, якщо , то його можна звести до квадратного рівняння відносно , застосовуючи формули

і .

ІІІ спосіб. Введення допоміжного аргументу.

Обидві частини рівняння (1) ділимо на . Дістанемо:

.

Нехай . Тоді і рівняння набере вигляду

, звідки

, або

. (2)

Якщо , то очевидно, рівняння (2), а отже, і рівняння (1) не мають розв’язків.

Якщо , то і .

Якщо , то і .

Якщо , то і

, де - довільне число.