5.10. Интегрирование дифференциального бинома. «Берущиеся» и «не берущиеся» интегралы

Интегралы типа (называемые интегралами от дифференциального бинома), где a, b – действительные числа; m, n, p – рациональные числа, берутся, как показал Чебышев П.А., лишь в случае, когда хотя бы одно из чисел является целым. Рационализация интеграла в этих случаях осуществляется следующими подстановками:

1) если p – целое число, то подстановка x = t^k, где k – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

2) если – целое число, то подстановка a + bxⁿ = t^s, где s – знаменатель дроби p;

3) если – целое число, то подстановка a + bxⁿ = xⁿt^s, где s – знаменатель дроби p.

Во всех остальных случаях интегралы типа не выражаются через известные элементарные функции, т.е. «не берутся».

Пример. Найти интеграл .

Решение. Так как , то .

Поэтому делаем подстановку .

Таким образом,

.

Как уже отмечалось выше, операция интегрирования функций значительно сложнее операции дифференцирования функций. Не всегда выбранный путь интегрирования является наилучшим, более коротким, простым. Интегрирование часто может быть выполнено не единственным способом. Многое зависит от знания рекомендуемых многих искусственных приемов интегрирования, от сообразительности, от тренированности. Например, можно найти, не используя рекомендуемую подстановку tgx = t, а применив искусственный прием:

Вряд ли стоит вычислять интеграл , разлагая подынтегральную функцию на простейшие дроби:

.

Заметив, что числитель является производной знаменателя, легко получить:

На практике при вычислении неопределенных интегралов используют различные справочники, содержащие таблицы особенно часто встречающихся интегралов. В частности, «Таблицы неопределенных интегралов» М.Л. Смолянского.

Изученные методы интегрирования позволяют во многих случаях вычислить неопределенный интеграл, т.е. найти первообразную функцию для подынтегральной функции.

Как известно, всякая непрерывная функция имеет первообразную. В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функции f(x) является также элементарной функцией, говорят, что «берется», т.е. выражается функцией (или интеграл вычисляется). Если же интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят «не берется» (или «его найти нельзя»).

Так, например, нельзя взять интеграл , так как не существует элементарной функции, производная от которой была бы равна . Приведем еще примеры «не берущихся» интегралов, которые имеют большое значение в приложениях:

– интеграл Пуассона (теорема вероятности),

– интегральный логарифм (теория чисел),

– интегралы Френеля (физика),

– интегральные синус и косинус,

– интегральная показательная функция.

Первообразные функции и других хорошо изучены, для них составлены подробные таблицы значений для различных значений аргумента х.