Лекция № 17. Некоторые пределы, связанные с показательной и логарифмической функциями. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Теорема
1.
.
Доказательство.
.
Замечание.
В частности, если
,
то имеем
.
Теорема
2.
.
Доказательство.
Пусть
.
Тогда
.
Если
,
то
.
Поэтому
.
Замечание.
В частности, если
,
то имеем
.
Теорема
3.
.
Доказательство.
Пусть
.
Тогда
или
.
Если
,
то
.
Поэтому получаем
.
Таким
образом установлена эквивалентность
следующих бесконечно малых функций при
:
;
;
.
Если функция не является непрерывной в точке , то ее называют разрывной в этой точке, а точку - точкой разрыва. Функция может иметь разрыв в точке в следующих случаях :
1)
не существует
;
существует, но
.
функция неопределена в точке , но определена в некоторой проколотой окрестности этой точки.
Пусть
- точка разрыва функции
.
Ее называют точкой разрыва первого
рода, если существуют конечные
односторонние пределы функции
в точке
.
В противном случае (т.е. когда хотя бы
один из односторонних пределов не
существует или бесконечен) точка
называется точкой разрыва второго рода.
В свою очередь разрыв первого рода может
быть устранимым, если
и неустранимым, если
.
В случае неустранимого разрыва разность
называется скачком.
Основные свойства функций, непрерывных на отрезке, выражаются двумя теоремами Вейерштрасса и двумя теоремами Больцано-Коши.
1
Теорема Вейерштрасса. Если функция
определена и непрерывна на отрезке
,
то она ограничена.
2 Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то среди всех ее значений есть наибольшее и наименьшее.
1
Теорема Больцано-Коши. Если функция
непрерывна на отрезке
и на концах его принимает значения
разных знаков, то внутри
найдется точка
такая, что
.
2
теорема Больцано-Коши. Если функция
непрерывна на отрезке
и
,
то для любого числа
между
и
найдется точка
из
такая, что
.
Следствие. Если функция непрерывна на , то множество значений этой функции является отрезком.
Лекция № 18. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Дифференцируемость функции. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функций. Производные некоторых основных элементарных функций.
Рассмотрим
кривую, заданную уравнением
,
где
- непрерывная функция. Пусть
- некоторая точка этой кривой. Для
определения касательной в точке
выберем на кривой произвольно точку
и проведем секущую
.
(рис.3) Ясно, что если перемещать точку
по кривой, то положение секущей
будет меняться. Причем, при движении
точки
к
эта секущая будет стремиться к некоторому
предельному положению, которое займет,
когда
совпадет с
.
Предельное положение секущей , когда точка стремится к точке по любому закону, перемещаясь по кривой, называется касательной к кривой в точке .
Теперь
приступим к решению задачи. Будем
считать, что нам даны кривая
и точка
на этой кривой. Уравнение касательной
будем искать в виде
,
где
-
угловой коэффициент касательной. Для
решения задачи достаточно найти
.
Из рисунка видно, что угловой коэффициент
секущей
находится как
.
Если точку
устремить к точке
(при этом
устремится к
),
то угловой коэффициент секущей устремится
к угловому коэффициенту касательной,
т.е.
(1)
Определив угловой коэффициент касательной по формуле (1), завершаем решение задачи.
Задача 2 (о мгновенной скорости). Пусть точка движется по прямой и
известен
закон ее движения, заданный функцией
.
Найти
скорость
движения точки в момент
.
Решение.
Зная время
движения точки, можно найти путь,
пройденный точкой
от начала движения до момента
.
Этот путь равен
.
Значит путь, пройденный точкой
от начала движения до момента
,
равен
.
Поэтому за время
точка
пройдет путь
.
Средняя скорость движения точки от
момента
до момента
равна
.
Скорость движения точки в момент
может быть найдена как
.
Итак
,
т.е. получили тот же предел (1), что и в
задаче о касательной.
Итак мы рассмотрели две совершенно различные по содержанию задачи. Однако решение обеих задач свелось к одной и той же математической операции - вычислению предела (1). Это говорит о большой значимости полученного предела.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .
Определение
1. Если существует конечный предел
,
то его называют производной от функции в точке
и
обозначают символом
,
или
.
Таким
образом
.
Заметим, что этот предел можно записать
в другом виде. Обозначим
.
Отсюда
.
Поэтому
.
Если
теперь вернуться к рассмотренным
задачам, то увидим, что угловой коэффициент
касательной к кривой
в точке
есть производная от функции
в точке
.
В этом состоит геометрический смысл
производной. С другой стороны, мгновенная
скорость точки
есть производная от функции
,
выражающей зависимость пути от времени,
в точке
.
В этом состоит механический смысл
производной.
Если предел в определении 1 будет бесконечным или односторонним,
то производную называют соответственно бесконечной или односторонней.
Правостороннюю
производную обозначают символом
,
а левостороннюю – символом
.
Очевидно,
что для существования конечной производной
в точке
необходимо и достаточно, чтобы существовали
обе односторонние производные и чтобы
.
Определение 2. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее
приращение в точке может быть представлено в виде
, (*)
где
- некоторое число, a
- бесконечно малая
функция
при
.
Теорема 1. Чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и
достаточно чтобы функция имела конечную производную в точке
.
Следствие. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в
точке .
Замечание 1. Утверждение, обратное утверждению следствия, неверно.
Замечание 2. При доказательстве теоремы 1 был установлен факт, что если
имеет
место равенство (*), то в нем
Поэтому
равенство (*) можно записывать в виде
Рассмотрим нахождение производных некоторых основных элементарных функций.
1)
Найдем
.
.
2)
.Найдем
.
3)
.
Найдем
.
.
В
частности, если
,то
имеем
.
4).
.
Найдем
.
.
В
частности, если
,
то
.
5)
.
Найдем
.
.
.
Найдем
.
