Тема 1. Економетричне моделювання на основі лінійної регресії

1.1. Основні положення теми

Розглянемо економетричну модель з двома змінними у загальному вигляді:

y = f(x) + u,

де у – залежна змінна (результативна ознака), x – незалежна змінна (чинник), u – випадкова складова. Це проста економетрична модель.

Одні і ті самі економічні процеси можна описати різними функціями, але за допомогою статистичного аналізу потрібно вибрати одну.

Найпростіша форма зв’язку між двома змінними лінійна:

y = a₀ + a₁x,

де a₀_,a₁ – невідомі параметри.

Можливі і інші форми залежностей між двома змінними. Як правило, нелінійні функції зводять до лінійних шляхом логарифмування або заміни :

y = a₀e^a1x , lny = ln a₀ + a₁x;

y = a₀x^a1 , lny = ln a₀ + a₁lnx, ln x = z;

y = a₀ + a_1/x, 1/x = z,y = a₀ + a₁z;

y = α(1-r)^x, lny = lnα + xln(1-r);

y = e ^{a0
+ a1x}, lny = a₀ + a₁x;

y = 10 ^{a0
+ a1x}, lgy = a₀ + a₁x.

Нехай ми вибрали якусь із цих залежностей, визначили невідомі параметри і одержали рівняння регресії.

Як відомо, що певна частина фактичних спостережень над змінною лежатиме вище або нижче від значень, обчислених згідно з вибраною функцією. А це свідчить про те, що вибрана функція не адекватна реальному процесу взаємозв’язків у економіці. Щоб розв’язати цю задачу, до економетричної моделі вводять стохастичну (випадкову) складову, яка акумулює в собі всі відхилення фактичних спостережень змінної у від обчислених згідно з моделлю:

y = a₀ + a₁x +u.

Стохастичну складову u економетричної моделі називають похибкою (залишком, збуренням, відхиленням).

Щоб оцінити параметри моделі, потрібно сформувати сукупність спостережень, кожна одиниця якої характеризується відповідними значеннями (х;у).

Нехай побудували кореляційне поле точок (х;у), через які можна провести безліч прямих ліній y = a₀ + a₁x (мал. 1).

Вони різняться між собою параметрами a₀і a₁. Треба вибрати ту лінію, для якої б відхилення фактичних y від розрахункових ŷ було б найменшим.

Принцип методу найменших квадратів полягає в знаходженні таких â₀ і â₁, для яких Σu_i² була б найменшою ( ŷ= â₀ + â₁х для розрахункових).

S = Σu_i² = Σ (y_i- ŷ_i) ² = Σ (y_i - â₀ - â₁х )² →min.