4. Случайные события. Понятие вероятности

Случайным называется событие, которое при некоторых определенных условиях может произойти, а может и не произойти. Так, например, приход такси в определенный отрезок времени на стоянку является случайным событием. Введем понятие вероятности для простейшего случая, когда в результате испытания могут иметь место одно из n равновозможных событий, причем только при испытаниях имеет место интересующее нас событие.

Вероятность события – это возможность его в данных условиях. Вероятность P данного события называют отношение числа событий, благоприятствующих появлению данного события, к общему числу всех возможных событий: .

Разберем это определение вероятности на примерах.

Пример 1. На стол бросается один раз игральная кость. Игральная кость представляет собой деревянный или костяной куб, на каждой грани которого нанесены соответственно 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков (меток). Какова вероятность того, что выпадет, то есть окажется наверху, чётное число очков? Всего граней шесть, то есть . Граней с четным числом очков три (грани с двумя, четырьмя и с шестью очками), то есть , то . А какова вероятность того, что выпадет грань с тремя очками? Здесь, по-прежнему, , а (одна грань с тремя очками), поэтому .

Пример 2. В урне 10 одинаковых шаров. Из них 7 белых и 3 черных. Какова вероятность вынуть наугад белый шар? Здесь , , то .

Какова вероятность вынуть красный шар? Здесь , (в урне нет красных шаров), то .

Событие, вероятность которого равна нулю, называется невозможным.

Какова вероятность вынуть или белый или черный шар? Здесь и , то .

Событие, вероятность которого равна единице, называется достоверным.

Итак, вероятность - это число, большее или равное нулю, но меньшее или равное единице, т.е. .

Вероятность может выражаться в процентах. Понятие вероятности применимо не только для простейшей схемы случайных событий, рассмотренной выше, но и для более сложных случаев. Так, например, можно говорить о вероятности того, что ошибки измерения заключается в данном интервале и т.д.

5. Равномерный закон распределения случайных величин. Погрешность однократного измерения.

По этому закону распределены, например, ошибки округления чисел, ошибки округления при измерении, некоторые приборные ошибки. В законе равномерного распределения случайной величины x (рис.2).

Pис.2. Равномерный закон распределения величины x.

Плотность вероятности функции имеет постоянное значение в некотором интервале (а, b) и равна 0 вне этого интервала. Математическое ожидание для этого закона равно: . Обозначим основание прямоугольника через , тогда – называют параметром равномерного распределения. Рассмотрим примеры случайных величин распределенных по равномерному закону.

Пример 1. Округление при измерении.

При измерении грубой шкалой отсчет берется приближенно, результат отсчета округлен. Так, если конец предмета, длина которого измеряется линейкой (рис.3), оказался между делениями 11 и 12, то отсчет можно взять или 11, или 12. Действительное значение длины меньше 12, но больше 11. Ошибка, которую мы допускаем при этом, меньше 1/2 деления, а истинное значение длины находится между 11 и 12. Здесь , , результат измерения равен

, ,

т.е. параметр равен половине деления шкалы (наибольшая возможная ошибка) и представит точность данного однократного измерения.

Рис.3. Измерение длины линейкой.

Пример 2.

В лабораторной работе определяют емкость конденсатора мостиком Соти. Необходимо измерить длину плеча , струны реохорда в момент, когда в гальванометре тока нет. Может оказаться, что отсутствию тока в гальванометре соответствует не единственное положение точки (движка), а целый интервал от до (рис.4),

Рис.4. Струна реохорда и соответствующие отсчеты по шкале.

любое значение внутри которого равновероятно можно принять в качестве . Тогда по равномерному закону , , в результате равен , , а параметр закона , который при миллиметровой шкале реохорда АВ, может составить несколько миллиметров, т.е. несколько цен деления шкалы и он представит точность данного однократного измерения длины . Ясно, что данный опыт составлен грубо. Для уменьшения погрешности нужно использовать в качестве индикатора нуля более чувствительный, чем гальванометр, прибор, например, осциллограф, с тем, чтобы погрешность определялась ценой деления шкалы или даже ее половиной.

Из приведенных примеров следует, что параметр равномерного распределения равен точности однократного измерения, которая может быть равна максимальной погрешности прибора или максимальной погрешности измерительной установки. Максимальные погрешности, даваемые электроизмерительными приборами, линейками, микрометрами и другими приборами наносятся обычно на самом приборе (например, в виде класса точности) или называются в прилагаемом к нему паспорте. Точность однократного измерения, зависящая от метода измерения, устанавливается реально, отражая условия конкретного опыта. Она может составить половину деления, целое деление, доли деления, а иногда даже несколько делений шкалы. Так, если деление градусного термометра мелкое, освещение при отсчете недостаточное, то отсчет следует взять лишь с точностью до 1^о. В других условиях и при использовании более точного термометра, отсчет может быть произведен и до 0,1^о. На хороших измерительных приборах цена деления согласована с классом данного прибора. В таком случае нецелесообразно пытаться на глаз оценивать доли деления, если они не отмечены на шкале. Однако, указанное правило при изготовлении приборов не всегда выполняется. Иногда есть смысл оценивать по шкале четверть и даже одну – две десятые доли деления, если деления крупные, указатель тонок, режим устойчив. В случае изображенном на рисунке 5.

Р ис.5. Отсчет на глаз равен 16,6 (с точностью до 0,2 дел.).

отмечены на шкале деления через единицу, т.е. 15, 16, 17 и т.д. На глаз легко взять 0,2. Тогда отсчет равен 16,6. Точностью отсчета является та доля деления, которая взята на глаз, (т.е. 0,2) конечно, если она сравнима с погрешностью прибора. Так на миллиметровой линейке, мы легко можем отсчитать на глаз десятые доли миллиметра, но обычная линейка может и не обеспечить такой точности из-за неточности ее изготовления.

Итак, точность однократного измерения величины x определяется той наименьшей частью единицы меры или столькими целыми единицами меры, до которых с уверенностью в правильности результата можно произвести измерение и она равна параметру равномерного распределения .

Поскольку в качестве ошибки измерения мы условились брать полуширину доверительного интервала, то найдем ее величину для равномерно распределенных случайных величин из следующих соображений. Полная площадь прямоугольника (рис.6) под кривой закона равномерного распределения равна единице, так как она означает вероятность нахождения измеряемой величины во всем возможном для нее интервале (a, b). Этой вероятности, следовательно, соответствует интервал размером . Так как плотность вероятности постоянна на всем

Рис.6. Границы доверительного интервала при однократном измерении

( при и при ).

интервале (a, b), то доверительной вероятности будет соответствовать

доверительный интервал с полушириной , т.е.

Этой формулой мы и будем оценивать полуширину доверительного интервала (т.е. ошибку) однократного измерения при данных α и l_x.

6. Обработка результатов прямых измерений (сводная программа)

1. Результаты измерений записываются в таблицы в соответствии с требованиями

оформления результатов эксперимента.

2. Вычисляется среднее арифметическое значение измеряемой величины при

n – измерениях:

. (2)

3. Среднее квадратичное отклонение, равное средней квадратичной ошибке отдельного измерения ( <30)

. (3)

4. Вычисляется стандартное отклонение (средняя квадратичная ошибка среднего арифметического):

. (4)

5. Наибольшая возможная ошибка отдельного измерения

.

Исключение промахов: отклонения отдельных измерений, превышающих , исключаются из дальнейших расчетов. При наличии промахов рассчитывается заново,

,

где , где m – количество промахов.

6. Определяются различные систематические ошибки и расчитывается суммарная систематическая ошибка

, (5)

где ошибка прибора определяется по паспорту прибора. Если ошибка прибора задается как предельная (максимальная) , то приближенно ; ошибка округления , где – цена деления прибора или та удвоенная доля деления, до которой производится округление; –субъективная ошибка, характеризует субъективную реакцию экспериментатора (специальные опыты показали, что оценка стандартного отклонения этой субъективной ошибки равна ), – систематическая ошибка измерений, возникающая из-за идеализации условий опыта (пренебрежение силами трения, влиянием наводок, подсветкой фотоэлемента и т.д.), одним из способов ее учета является указание ее стандартного отклонения. В выражении для пренебрегают всеми ошибками, которые не превышают 30% от максимальной.

Далее проводится оценка доверительного интервала, для чего:

7. Задается коэффициент доверия (вероятность) :

а) Задаем доверительную вероятность a (0,9, 0,95, 0,99).

б) По таблице значений коэффициента Стьюдента для данного числа измерений определяем значение этого коэффициента t_{α, n–1} (для n = 4, α = 0,95, t_{α, n–1} = 3,2).

8. Для систематической ошибки вычисляется полуширина интервала по одной из следующих формул:

а) ,

б) ,

в) .

Формула а) применяется, кода существенна только ошибка прибора, задаваемая как предельная. В этом случае вероятность практически равна 100%. Формула б) применяется, когда существенна только ошибка округления. Формула в) применяется в остальных случаях ( – коэффициент Чебышева).

9. Когда существенны только случайные ошибки (т.е. когда ), то можно вычислить полуширину интервала, если эти ошибки распределены по нормальному закону

10. Окончательный результат записывается одним из следующих возможных способов:

а) , вероятность ;

б) , (число), вероятность ; (число); (число);

в) , (число), (число); (число).

Форма а) применяется, когда-либо случайными, либо систематическими ошибками можно пренебречь. В этом случае определяется соответственно как или как . Формула б) применяется, когда систематическая ошибка учитывается интервалом. Формула в) применяется в остальных случаях.

11. Можно рассчитать общую погрешность с учетом систематической ошибки ( – коэффициент Стьюдента), тогда общая погрешность с учетом систематической

( определяется из класса точности прибора)

_,

где k – класс точности прибора, указывается на приборе.

Если класс точности не указан, в качестве систематической ошибки берем половину цены деления, либо полуширину доверительного интервала однократного измерения .

12. Относительная погрешность определяет качество результата и показывает долю ошибки относительно измеряемой величины.

.

13. Множители , определяются из таблиц (коэффициент Стьюдента, Чебышева, соответственно).