Математические модели рэс

Электронная схема состоит из пассивных и активных компонентов, соединенных в соответствии с ее функциональным назначением. Способ соединения компонентов в схеме (или ее структура) называется топологией. В общем случае под математической моделью реального объекта понимается любое математическое описание, отражающее с требуемой точностью поведение этого объекта в заданных (реальных) условиях. Если объектом является компонент электронной схемы или целая схема, то математической моделью будем называть математическое описание связей между токами и напряжениями, возникающих в компоненте или схеме в статическом и динамическом (переходном) режимах работы. Математическая модель компонента (ММК) обычно описывает функционирование данного компонента на макроуровне, т.е. отражаются только те свойства и закономерности компонента, которые характеризуют его взаимодействие с другими компонентами устройства. Такие модели оперируют с сосредоточенными параметрами и устанавливают связь между напряжениями на компонентах u(t) и токами i(t), протекающими через них. ММК называют еще компонентными уравнениями. Различают математические модели идеальных и реальных компонентов. Так, например, для идеальных пассивных компонентов такие уравнения имеют вид:

для идеального резистора ,

для идеального конденсатора ,

для идеальной катушки индуктивности ,

где R и G – сопротивление и проводимость резистора соответственно,C – ёмкость конденсатора, L – индуктивность катушки.

Математическая модель идеального активного электронного компонента – усилительного прибора представляется схемой замещения с источником тока, управляемым напряжением. Математические модели реальных компонентов должны учитывать их нелинейные, частотные и шумовые свойства, зависимость параметров от температуры и других факторов. Таким образом, математическими моделями реальных компонентов могут быть уравнения ВАХ или дифференциальные уравнения переходных процессов в компоненте. Например, ММК реального транзистора соответствует схема замещения, состоящая из линейных и нелинейных сопротивлений, нелинейных ёмкостей и нелинейных управляемых источников.

Математическая модель схемы (ММС) – это обычно системы уравнений, описывающие статический или динамический режим, которые формируются на основе компонентных уравнений и характеризуют совместное функционирование компонентов, зависящее от конкретного способа их соединения – топологии схемы. Объединение компонентных уравнений в ММС осуществляется с помощью так называемых топологических уравнений, которые составляются на основе законов Кирхгофа:

для любого узла схемы ∑ i_k(t) = 0 (первый закон Кирхгофа);

для любого контура ∑ u_i(t) = 0 (второй закон Кирхгофа).

Для формирования ММС аналогового радиоэлектронного устройства используется несколько методов, которые различаются составом независимых переменных и видом исходных топологических уравнений. К их числу относятся: табличный метод, метод узловых потенциалов и метод переменных состояния. Однако наиболее широкое распространение получил метод узловых потенциалов и его модификации. Метод узловых потенциалов позволяет формировать ММС в виде системы уравнений, которые составляются на основе первого закона Кирхгофа для внутренних узлов схемы.

Для формирования ММС цифровых радиоэлектронных устройств используются алгоритмы физического и логического моделирования. При физическом моделировании отдельные элементы, из которых состоит цифровое устройство (ЦУ), представляются их электрическими макромоделями, состоящими из базовых элементов теории цепей (пленочных резисторов и конденсаторов, диффузионных резисторов и конденсаторов, биполярного или МОП-транзистора, полупроводникового диода и т.д.). На основании системы этих макромоделей формируется полная электрическая модель ЦУ. Физические модели ЦУ позволяют наиболее полно представить работу устройства во времени с учетом реальных задержек срабатывания элементов. Эти модели целесообразно использовать на заключительном этапе проектирования РЭУ из-за больших затрат времени на моделирование, когда необходимо иметь данные об устройстве, которые нельзя получить с помощью более простых моделей. При логическом моделировании каждый элемент ЦУ представляется упрощенной формальной моделью в виде логического соотношения, полученного с помощью булевой алгебры и описывающего логику его функционирования. При меньшей детализации работы в сравнении с физическими логические модели обладают во много раз большим быстродействием и позволяют решать ряд важных практических задач, в частности, проверять правильность логического функционирования ЦУ и сравнивать характеристики различных вариантов схемных решений.

А теперь вернемся к обсуждению вопросов, связанных с математическими моделями реальных электронных компонентов, причем договоримся обозначать их также аббревиатурой ММК. Все параметры этих моделей делятся на два класса: внешние и внутренние. Каждый из этих классов подразделяется на два подкласса: первичные и вторичные параметры. Первичные внешние параметры моделей – токи и напряжения. Вторичные внешние (их иногда называют выходными, или схемными) – параметры, вычисляемые на основе токов и напряжений, как-то: длительности фронтов, импульсов и задержек, рассеиваемые и потребляемые мощности, неравномерности частотных характеристик, характерные значения токов и напряжений в отдельных узлах схемы. Первичные внутренние параметры – электрофизические и конструктивно-технологические параметры; например, размеры отдельных областей компонентов, контактная разность потенциалов, подвижность носителей заряда, характеристики материалов (ширина запрещенной зоны, температурные коэффициенты и др.). Вторичные внутренние (электрические) – параметры, которые могут быть определены на основе электрических измерений на выводах компонента: входные, выходные сопротивления, коэффициенты усиления и т.д.