1. составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для определения токов во всех ветвях системы;

2. определить токи во всех ветвях системы, используя метод контурных токов;

3. определить токи во всех ветвях системы на основании метода наложения;

4. Составить баланс мощностей для заданной схемы;

5. Результаты расчетов токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы и сравнить;

6. определить ток во второй ветви методом эквивалентного генератора;

7. построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе ЭДС.

Е ₁ = 4ОВ, Е₂=60В,

R₁ = 18Ом, R₂=36Ом,

R₃=16Ом, R₄=24Ом,

R₅=40Ом, R₆=34Ом ,

r01 = 2 Ом, r02=4 Ом.

Определить: I₁, I₂, I₃, I₄, I₅.

1) Составить систему уравнений, применяя законы Кирхгофа для определения токов во всех ветвях.

Метод узловых и контурных уравнений основан на применении первого и второго законов Кирхгофа. Он не требует никаких преобразований схемы и пригоден для расчета любой цепи.

При расчете данным методом произвольно задаем направление токов в

ветвях I₁, I₂, I₃, I₄, I₅.

Составляем систему уравнений. В системе должно быть столько уравнений, сколько цепей в ветвях (неизвестных токов).

В заданной цепи пять ветвей, значит, в системе должно быть пять уравнений (m=5). Сначала составляем уравнения для узлов по первому закону Кирхгофа. Для цепи с п узлами можно составить (n-1) независимых уравнений. В нашей цепи три узла (А,В,С), значит, число уравнений:

n-1 =3 - 1=2. Составляем три уравнения для любых 2-х узлов, например, для узлов 1 и 2.

Узел В: I₄=I₁+I₂

Узел С: I₂ = I₃+ I₅

Всего в системе должно быть пять уравнений. Два уже есть. Три недостающих составляем для линейно независимых контуров. Чтобы они были независимыми, в каждый следующий контур надо включить хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущую.

Задаемся обходом каждого контура и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.

Контур АДСВА - обход по часовой стрелке

E₂-E₁= I₂(R₂+r₀₂)-I₁(R₁+r₀₁)+I₃(R₃+r₀₃)

Контур АВА’А - обход по часовой стрелке

E₁= I₁(R₁+r₀₁)+I₄R₄

Контур А’СВА’ - обход против часовой стрелки

Е₂=I₂(R₂+ r₀₂) +I₄R₄+I₅R₅

ЭДС в контуре берется со знаком "+", если направление ЭДС совпадает с обходом контура, если не совпадает - знак "-".

Падение напряжения на сопротивлении контура берется со знаком "+", если направление тока в нем совпадает с обходом контура, со знаком "-", если не совпадает.

Мы получили систему из пяти уравнений с шестью неизвестными:

I₃ = I₁+ I₂

I₂ = I₃+ I₅

E₂-E₁= I₂(R₂+r₀₂)-I₁(R₁+r₀₁)+I₃(R₃+r₀₃)

E₁= I₁(R₁+r₀₁)+I₄R₄

Е₂=I₂(R₂+ r₀₂) +I₄R₄+I₅R₅

Решив систему, определим величину и направление тока во всех вет­вях схемы.

Если при решении системы ток получается со знаком "-", значит его действительное направление обратно тому направлению, которым мы за­дались.

2) Определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контур­ных токов.

Метод контурных токов основан на использовании только второго за­кона Кирхгофа. Это позволяет уменьшить число уравнений в системе на n - 1 .

Достигается это разделением схемы на ячейки (независимые конту­ры) и введением для каждого контура-ячейки своего тока — контурного тока, являющегося расчетной величиной.

Итак, в заданной цепи (рис. 1.38) можно рассмотреть три контура-ячейки (АДСВА, АВА'А, А'СВА’) и ввести для них контурные токи I_k1, I_k2, I_k3.

Контуры-ячейки имеют ветвь, не входящую в другие контуры — это внешние ветви. В этих ветвях контурные токи являются действительными токами ветвей.

Ветви, принадлежащие двум смежным контурам, называются смежными ветвями. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учетом их направления.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в левой части равенства алгебраически суммируются ЭДС источников, входящих в контур-ячейку, в правой части равенства алгебраически суммируются напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывает­ся падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура.

На основании вышеизложенного порядок расчета цепи методом кон­турных токов будет следующим:

стрелками указываем выбранные направления контурных токов I_k1, I_k2, I_k3 в контурах-ячейках. Направление обхода контуров принимаем таким же;

составляем уравнения и решаем систему уравнений или методом подстановки, или с помощью определителей.

E₁=I_k1(R₁+r₀₁+R₄)+I_k2R₄-I_k3(R₁+r₀₁)

E₂=I_k2(R₂+r₀₂+R₄+R₅)+I_k1R₄+I_k3(R₂+r₀₁)

E₂-E₁=I_k3(R₂+r₀₂+R₁+r₀₁+R₃+R₆)-I_k1(R₁+r₀₁)+I_k2(R₂+r₀₂)

Подставляем в уравнение численные значения ЭДС и сопротивлений.

40=I_k1(18+2+24)+I_k224-I_k3(18+2)

60=I_k2(36+4+24+40)+I_k124+I_k3(36+4)

60-40=I_k3(36+4+18+2+16+34)-I_k1(18+2)+I_k2(36+4)

Или

40=I_k144+I_k224-I_k320

60=I_k2104+I_k124+I_k340

20=I_k3110-I_k120+I_k240

Сократив первое уравнение на 4, второе на 4, третье на 10, получим:

10=I_k111+I_k26-I_k35

15= I_k16+I_k226+I_k310

2=-I_k12+I_k24+I_k311

Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы ∆ и честные определители ∆1, ∆2, ∆3.

11 6 -5

∆= 6 26 10 =11*26*11+6*10*(-2)+6*4*(-5)-(-2)*26*(-5)-

-2 4 11

-6*6*11-4*10*11=1810

10 6 -5

∆1= 15 26 10 =10*26*11+15*4*(-5)+6*10*2-2*26*(-5)-

2 4 11

-15*6*11-4*10*10=1550

11 10 -5

∆2= 6 15 10 =11*15*11+10*10*(-2)+6*2*(-5)-(-2)*15*(-5)-

-2 2 11

-6*10*11-2*10*11=5 25

11 6 10

∆3= 6 26 15 =11*26*2+6*15*(-2)+4*6*10-(-2)*26*10-

-2 4 2

-4*15*11-6*6*2=420

Вычисляем контурные токи:

I_k1=∆1/∆=1550/1810=0,856 А

I_k2=∆2/∆=525/1810=0,290 А

I_k3=∆3/∆=420/1810=0,232 А

Тогда токи ветвей будут равны:

I₁= I_k1- I_k3=0,856-0,232=0,624 А

I₂= I_k2+ I_k3=0,290+0,232=0,522 А

I₃= I_k3=0,232 А

I₄= I_k1+ I_k2=0,856+0,290=1,146 А

I₅= I_k2=0,290 А

3)Определить токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения.

По методу наложения ток в любом участке цепи рассматривается как алгебраическая сумма частных токов, созданных каждой ЭДС в отдельности.

а ) Определяем частные токи от ЭДС Е1, при отсутствии ЭДС Е2, т.е. рассчитываем цепь по рис. 1.39.

Показываем направление частных токов то ЭДС Е1 и обозначаем буквой I с одним штрихом(‘).

Решаем задачу методом "свёртывания".

R_2,02=R₂+r₀₂=36+4=40 Ом

R_3,6=R₃+R₆=16+34=50 Ом

б ) определяем частные токи от ЭДС Е2, при отсутствии ЭДС Е1, т.е. рассчитываем цепь по рис.1.40

Показываем направление частных токов по ЭДС Е2 и обозначаем их буквой I с двумя штрихами (“).

Рассчитываем общее сопротивление цепи:

R₃₆=R₃+R₆=16+34=50 Ом

R_1,01=R₁+r₀₁=18+2=20 Ом

Вычисляем ток источника:

Применяя формулу разброса и I-ый закон Кирхгофа, вычисляем токи ветвей:

Вычисляем токи ветвей исходной цепи (рис. 1.38), выполняя алгебраическое сложение частных токов, учитывая их направление: