При помощи надстройки «Поиск решения»

Задача о нахождении приближенных значений действительных корней уравнения включает два этапа:

• отделение корней

• уточнение корней

отделение корней предусматривает построение интервала изоляции корня для каждого корня, т.е. установление промежутка, в котором существует единственный корень.

Будем предполагать, что

1. функция непрерывна вместе со своими производными и в промежутке ;.

2. значения и на концах промежутка имеют разные знаки, т.е. ;

3. обе производные сохраняют знак во всем промежутке .

Тогда в промежутке существует единственный корень, т.е. промежуток является интервалом изоляции.

Т.к. действительными корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения кривой с осью 0х , то отделение корня можно произвести графически.

Уточнение корней обычно выполняют какими-либо численными методами. Это можно сделать, используя надстройку Excel Поиск решения.

Пример: Решить уравнение

Для отделения корней строим график рис.2.1. Очевидно, что уравнение имеет два корня. Для первого корня интервалом изоляции является, например, интервал . Уточним этот корень с помощью надстройки Excel Поиск решения рис.3.

Рис.3 Отделение корней нелинейного уравнения.

Выберите команду Сервис-Поиск решения и заполните диалоговое окно:

Рис.4 Настройка панели «Поиск решения».

В ячейке D29 будет находиться искомое значение корня. Определяемое средством Поиск решения решение нелинейной задачи часто зависит от начального приближения. Поэтому в этих случаях существенным является удачный его подбор, в данном случае можем записать значение левой границы промежутка. В ячейке Е29 находится значение функции . Эта ячейка будет являться целевой, целью является нахождение такого значения в ячейке D29, что значение в ячейке Е29 будет 0. Поэтому отмечаем соответствующее значение в опциях выбора. Принадлежность корня данному интервалу изоляции отражено при заполнении поля Ограничения.

Нажмите кнопку Выполнить. Средство Поиск решения найдет корень нашего уравнения, решения приведено на рис.5. Таким образом, первый корень приближенно равен х₁=-2.791.

Рис.5 Нахождение 1-го корня нелинейного уравнения

Аналогично найдите второй корень . Для него интервалом изоляции является, например, интервал . Корень приближенно равен х₂=1.791.

Результаты решения приведено на рис.5.

Рис.6 Решение нелинейного уравнения

Метод Ньютона. Уточнить корень с точностью =10^-4.

Рассмотрим задачу нахождения корня уравнения методом Ньютона. Возьмем для примера квадратное уравнение: F(x) = , графическое представление которого приведено на рис.3.

Выберем произвольную ячейку, присвоим ей новое имя, скажем - Х, и введем в нее рекуррентную формулу, задающую вычисления по методу Ньютона:

x_i= x_i-1 - F(x_i-1) / F`(x_i-1)

где F и F` задают соответственно выражения для вычисления значений функции и ее производной.

Рис.7 Решение нелинейного уравнения методом Ньютона в режиме отображения данных

Таблица 2

Найти корни нелинейного уравнения

№	Задание	№	Задание
	2x4 – 9x2 - 60x + 1 = 0		x3 + 0,2x2 + 0,5x - 2 = 0
	x4 + 4x3 - 8x2 - 17 = 0		3x4 + 8x3 + 6x2 - 10 = 0
	x3 – 0,2x2 + 0,5x – 1,4 = 0		x3 – 0,1x2 + 0,3x – 0,6 = 0
	x3 + 0,1x2 + 0,4x – 1,2 = 0		x4 - 4x3 - 8x2 + 1 = 0
	3x4 - 8x3 - 18x2 + 2 = 0		3x4 + 4x3 - 12x2 + 1 = 0
	x4 - x3 - 2x2 + 3x - 3 = 0		3x4 + 4x3 - 12x2 - 5 = 0
	x3 + 0,2x2 + 0,5x + 0,8 = 0		x3 + 0,4x2 + 0,6x - 1,6 = 0
	2x4 + 8x3 + 8x2 - 1 = 0		x3 - 3x2 + 12x - 9 = 0