Ответы к заданиям с кратким ответом
№ задания |
Ответ |
В1 |
3,5 |
В2 |
– 3 |
В3 |
3 |
В4 |
17 |
В5 |
3 |
В6 |
2 |
В7 |
– 10 |
B8 |
– 5 |
B9 |
1240 |
В10 |
4,8 |
В11 |
10 |
Ответы к заданиям с развернутым ответом
№ задания |
Ответ |
С1 |
2 |
С2 |
|
С3 |
(– 1; 2] |
С4 |
1 |
С5 |
2 |
Критерии проверки и оцеНкИ выполнения заданий с развёрнутым отвеТоМ
Внимание! При выставлении баллов за выполнение задания в «Протокол проверки ответов на задания бланка № 2» следует иметь в виду, что если ответ отсутствует (нет никаких записей, свидетельствующих о том, что экзаменуемый приступал к выполнению задания), то в протокол проставляется «Х», а не «0» .
~EndLATTest
Найдите значение функции в точке максимума.
C1
Решение:
1. Найдем
область определения функции
:
.
Упростим формулу, задающую функцию:
.
2.
.
,
.
при
( х = 1 не принадлежит области
определения функции
).
- точка максимума и
Ответ: 2.
Баллы |
Критерии оценки выполнения задания С1 |
2
|
Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) найдена область определения и упрощена формула, задающая функцию; 2) найдена точка максимума и значение функции в этой точке. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ. |
1 |
Приведена верная последовательность всех шагов решения, но в шаге 2 допущена одна описка и/или вычислительная ошибка, не влияющая на дальнейший ход решения. В результате этой описки или ошибки может быть получен неверный ответ. |
0 |
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла. |
Решите уравнение
C2
1)
2)
;
или
.
а)
,
тогда
,
значит,
не являются решениями исходного
уравнения.
б)
,
тогда
и
.
Ответ:
.
Баллы |
Критерии оценки выполнения задания С2 |
2 |
Приведена верная последовательность
шагов решения:
1) уравнение сведено
к равносильной системе, состоящей из
квадратного уравнения относительно
2) решено
уравнение и произведен отбор корней,
удовлетворяющих условию
Все преобразования и вычисления выполнены верно, получен верный ответ. |
1 |
Приведена верная последовательность всех шагов решения, в шаге 2 допущена вычислительная ошибка или описка. В результате этой описки или ошибки может быть получен неверный ответ. |
0 |
Все случаи решения, не соответствующие указанным выше критериям выставления оценок в 1 или 2 балла. |
и неравенства
;
1
C3
Решение:
Неравенство приводится к виду
,
в котором левая часть, рассматриваемая
как функция от
,
есть линейная функция
с коэффициентами, зависящими от
.
В задаче требуется найти все значения
,
при каждом из которых эта функция
отрицательна для всех
.Для отрицательности линейной функции на промежутке (1; 2) необходимо, чтобы она была отрицательна или равна нулю при каждом из двух значений
и
,
т.е. выполнялась система
;
.
3) Для выполнения требования задачи
функция
не должна равняться нулю при обоих
значениях
и
одновременно, т. е. не выполняется
система
;
.
4) Выполнения двух полученных условий
уже достаточно для отрицательности
на данном промежутке. Таким образом,
искомые значения
— это решения системы
Ответ:
.
Баллы |
Критерии оценки выполнения задания С3 |
4 |
Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) задача сведена к требованию отрицательности линейной функции на данном интервале; 2) получено первое необходимое условие на переменную и решена соответствующая система; 3) получено второе необходимое условие на переменную и решена соответствующая система; 4) имеется вывод о том, что выполнение сразу двух указанных необходимых условий уже достаточно. Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ. |
3 |
Приведена верная последовательность шагов 2) — 4) решения, а шаг 1) либо отсутствует, либо логически неверен. Получен верный ответ. Допустима описка, в результате которой возможен неверный ответ. |
2 |
Верно выполнен только шаг 2) решения, а остальные шаги или отсутствуют, или сделаны с ошибкой. |
1 |
Выполнен только шаг 2) решения, но в нем нестрогие неравенства заменены строгими. Остальные шаги решения или отсутствуют, или сделаны с ошибкой. |
0 |
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 – 4 балла. |
*C4
Решение:
1)
Пусть пирамида FABC
– данная правильная пирамида, FO
– ее высота, тогда точка O
– центр треугольника АВС. Пусть CD
– медиана треугольника АВС, тогда
и
.
Треугольник FAB
равнобедренный и точка D
– середина АВ, значит, FD
– медиана, высота и биссектриса
треугольника FAB.
Пусть
основание конуса вписано в треугольник
FAB. Тогда центр основания
конуса (точка Р) является точкой
пересечения биссектрис треугольника
FAB. Следовательно, ОP
– высота конуса, РD
– радиус основания, а OD
– образующая конуса. Тогда
.
2) Пусть
РТ^FA.
Тогда РТ=PD как
радиусы окружности, вписанной в
треугольник FAB.
Прямоугольные треугольники FDA
и FTP подобны (имеют
общий угол при вершине F).
Следовательно,
или
,
так как РТ=PD. Отсюда
,
т.е.
.
Вычислим PD другим
способом. Прямоугольные треугольники
FOD и OPD
подобны, так как имеют общий угол D.
Поэтому
и
.
Итак,
(1).
3) По
условию АВ=
.
Пусть AF=b
и PD = r.
Из треугольника FAD
получаем
,
а из треугольника ABC
получаем
,
.
Подставим найденные величины в равенство
(1):
.
Отсюда получаем:
.
Следовательно,
и
.
Ответ: 1.
Баллы |
Критерии оценки выполнения задания С4 |
4 |
Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) установлено, что центр основания конуса – точка пересечения биссектрис боковой грани пирамиды; 2) получены два соотношения для вычисления радиуса основания конуса; 3) выполнены преобразования и вычисления, необходимые для нахождения радиуса основания конуса. Имеются верные обоснования всех ключевых моментов решения: а) положения центра основания конуса; б) соотношения между отрезками FA, AD, FD и FP, а также между отрезками OD, PD и FD. Все преобразования и вычисления выполнены правильно. Получен верный ответ. |
3 |
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Явно описано положение центра основания конуса. Верно найдены соотношения между отрезками, необходимые для решения задачи. Допустимо отсутствие обоснований или неточности в обосновании ключевых моментов. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Допустима одна описка и/или негрубая ошибка в преобразованиях или вычислениях, не влияющая на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ. |
2 |
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допустимо отсутствие обоснований или неточности в обоснованиях ключевых моментов решения. Верно найдены соотношения между отрезками, необходимые для решения задачи. Допустимы одна-две негрубые ошибки и/или описки в преобразованиях и/или вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ. |
1 |
Общая идея и способ решения верные, но, возможно, решение не завершено. При этом верно найдено соотношение между отрезками FA, AD, FD и FP. Ключевые моменты решения не обоснованы или имеются неверные обоснования. Допустимы одна-две негрубые ошибки и/или описки в преобразованиях и/или вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ. |
0 |
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок 1 – 4 баллов. |
C5
Решение:
1) По
условию
,
а
.
Тогда второе уравнение системы
равносильно следующим уравнениям:
,
,
,
,
.
Если
,
то первое уравнение системы имеет вид
.
Значит,
– решение системы.
2) Если
,
то
,
и первое уравнение системы имеет вид
.
Если
,
то
и
,
т.е. положительных корней нет. Если
,
то
и
.
(*)
3)
Рассмотрим функции
и
.
Функция
возрастает (
).
Исследуем
функцию
:
,
т.к.
.
Значит, эта функция убывает при
.
4)
Если
,
то
.
Если же
,
то
,
и
.Так
как обе функции изменяются непрерывно,
то имеется единственный корень
уравнения (*),
.
Поэтому исходная система имеет ровно
два решения
и
.
Ответ: 2.
Баллы |
Критерии оценки выполнения задания С5 |
4 |
Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) преобразование второго уравнения системы к виду ; нахождение решения системы; 2) сведение системы к уравнению относительно ; проверка того, что при оно не имеет корней; 3) сравнение характера монотонности обеих частей уравнения (*); 4) проверка того, что уравнение (*) имеет хотя бы один корень. Обоснованы все моменты решения: а) приведена ОДЗ данной системы уравнений; б) в
шаге 1) есть ссылка (словесная или
знаком
в) в
шаге 2) есть явная ссылка на положительность
г) в шаге 4) указаны значения аргумента, в которых левая часть уравнения (*) больше (меньше) его правой части; д) наличие корня обосновано или эскизами графиков, или же явной словесной ссылкой на непрерывность. Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ. |
3 |
Приведена верная последовательность шагов 1) – 4) решения. Обоснованы ключевые моменты а), б), в). Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов г) и д). Допустима 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка в шаге 4). |
2 |
Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения. Верно выполнены шаги 1) и 2) решения: составлено уравнение (*). Допускается отсутствие одного из шагов 3) или 4) при частичном выполнении другого шага решения. Обоснованы ключевые моменты б) и в). Допустимо, что дальнейшее выполнение не завершено. Допустимы 1 – 2 негрубые ошибки в вычислениях или построениях графиков, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. |
1 |
Общая идея, ход решения верны, но решение, возможно, не завершено. Верно выполнен шаг 1) решения: найдено решение системы. В шаге 2) уравнение относительно составлено, но его исследование не завершено. Обоснован ключевой момент б). Допустимо, что решение не завершено, а обоснования других ключевых моментов отсутствуют. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. |
0 |
Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла. |
)
на равносильность;
при
;