2.2.10. Блочні матриці
Матриця, що має більш як один рядок і стовпець, прямими, проведеними між рядками і (або) стовпцями, може бути розбита на блоки, тобто записана у вигляді блочної матриці
де
блоки
самі є матрицями, які називаються
підматрицями.
Р озіб’ємо матрицю Х на блоки горизонтальними та вертикальними лініями:
і позначимо
Матрицю Y подамо в такому самому вигляді. Тоді утворені матриці можна додати одну до одної або перемножити, оперуючи з підматрицями так, як з елементами цих матриць.
Додавши матриці X і Y, дістанемо:
.
Виконаємо тепер множення матриць X і Y:
.
Розглянемо
частинний випадок, коли матриця X
має розмір
:
, (2)
де
Е
— одинична матриця розміру
.
Помноживши матрицю Х
зліва на матрицю В
розміру
,
дістанемо
.
Узявши В = А–1, запишемо блочну матрицю:
. (3)
Оскільки множення на матрицю В зліва рівносильне лінійним операціям з рядками матриці Х, то згідно з (2) і (3) дістанемо такий результат.
Теорема.
Нехай А
— неособлива матриця. Якщо блочна
матриця
розміру
,
де Е
— одинична матриця розміру
,
за допомогою лінійних операцій із
рядками перетворюється до вигляду
,
то В = А–1.
На підставі цієї теореми розроблений метод Жордана—Гаусса відшукання оберненої матриці, який розглядається далі.
2.2.11. Знаходження оберненої матриці методом Жордана—Гаусса
Нехай
неособлива матриця
А порядку
n
має обернену матрицю
.
Рівність
розпадається на n систем рівнянь:
. (1)
Розв’язавши ці системи, знайдемо обернену матрицю.
З найдемо матрицю, обернену до матриці
.
Розв’язавши систему рівнянь виду (1):
знайдемо
вектори
та обернену матрицю:
.
Замість того, щоб розв’язувати n систем рівнянь виду (1), розглянемо блочну матрицю
.
Застосуємо еквівалентні перетворення матриці, оперуючи з її рядками: помножимо перший рядок на 4 і віднімемо від другого рядка. Дістанемо матрицю
.
Далі помножимо другий рядок на 2 і додамо до першого рядка, а потім помножимо другий рядок на –1:
.
Звідси знаходимо обернену матрицю.