6.3.4. Основні теореми

Теорема 2.19. Для того щоб функція f(x, y) була інтегровна в області D, необхідно, щоб f(x, y) була обмежена на D.

Теорема 2.20. Якщо функція f(x, y) неперервна в обмеженій області D, то подвійний інтеграл існує.

Теорема 2.21. Нехай D — обмежена замкнена область і f(x, y) — функція, визначена і неперервна в усіх точках цієї області, за винятком, можливо, точок, що належать скінченній кількості кусково-гладких ліній із області D. Тоді інте- грал (4) існує.

Властивості подвійного інтеграла:

1. (6)

^● Беручи в (4) , дістаємо:

^2.

^● За означенням,

3. Нехай , (рис. 2.30).

Тоді

(7)

Рис. 2.30

^● Нехай D_і — клітинки розбиття . Позначимо через — клітинки розбиття, що належать D₁, а через D_i2 — клітинки, що належать D₂.

Тоді

(n = n₁ + n₂).

4. Якщо , , то

(8)

5. Якщо , , то

(9)

6. (10)

^● Очевидно, виконується нерівність

Отже, за властивістю 5

Звідси маємо нерівність (10).

7. Нехай ,

Тоді

(11)

S — площа області D.

^● Справді, виконується нерівність

Отже,

і за властивостями 1 і 2 маємо нерівність (11).

8. Нехай D — прямокутник а  х  b, с  х  d (рис. 2.31). . Тоді

(12)

^● Прямими, паралельними осям координат, розбиваємо прямокутник D на прямокутники D_ij, площі яких дорівнюють , і = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.

Згідно з рівністю (5) дістаємо:

Рис. 2.31

9. Теорема 2.22. (Про середнє.) Нехай — функція, неперервна в обмеженій замкненій зв’язній області D. Тоді існує точка (, ), така що

(13)

де S — площа області D.

^● З нерівності (11) випливає:

(14)

Нехай точки А = (х₀, у₀), В = (х₁, у₁)  D, причому

Сполучимо точки А і В неперервною кривою х = х(t) i y = y(t), t  [; ] так, щоб х() = х₀, у() = у₀, х() = х₁, у() = у₁.

У точках цієї кривої значення функції однієї змінної t утворюють відрізок [m; M]. За теоремою Вейєрштрасса вона набуває й усіх проміжних значень між m i M. Згідно з нерівністю (14) число

Тоді знайдеться таке t₀, що

де , .

Число

(15)

називається середнім значенням функції в області D.

6.3.5. Похідна подвійного інтеграла по області інтегрування

Нехай S — площа області D, а — її маса. Тоді середня щільність речовини в D дорівнює

Згідно з (15) маємо

,

де .

У разі стягування області D в точку внаслідок неперервності функції дістаємо співвідношення:

Ця границя називається похідною подвійного інтеграла за областю D в точці .

Якщо f(x, y) — неперервна в області D функція, то похід­на подвійного інтеграла за областю інтегрування дорівнює підінтегральній функції.

6.3.6. Зведення подвійного інтеграла до повторного і. Випадок прямокутної області. Нехай область інтегрування є прямокутник

зі сторонами, паралельними координатним осям (див. рис. 2.31) і — неперервна в цій області функція. Якщо зафіксувати , то буде неперервною функцією змінної х. Тому існує інтеграл який є неперервною функцією змінної . Таким чином, функцію можна інтегрувати на відрізку . Отже, дістаємо повторний інтеграл

(16)

Цей процес можна здійснити в оберненому порядку: спочатку обчислити функцію від х, визначену рівністю , а потім функцію зінтегрувати за х від a до b. У результаті дістанемо повторний інтеграл:

(17)

Теорема 2.23. Нехай функція неперервна в замкненому прямокутнику D. Тоді виконується рівність

(18)

Обчислити інтеграл

.

Маємо:

2. Випадок криволінійної області. Нехай область D обмежена двома неперервними кривими і , , і вертикальними відрізками і (рис. 2.32). Нехай будь-яка пряма, паралельна осі у, перетинає межу області D не більш ніж у двох точках. Тоді справджується формула:

(19)

У (19) спочатку функцію інтегруємо за змінною у від до , вважаючи х сталою, а потім результат інтегруємо за х на відрізку [a, b].

Рис. 2.32

Якщо область D (рис. 2.33) визначається нерівностями , , де і — неперервні на відрізку [c; d], і будь-яка пряма, паралельна осі х, перетинає межу області не більш ніж у двох точках, то

(20)

Рис. 2.33

О бчислити інтеграл

якщо D обмежена прямими у = х, у = 2х, х = 2, х = 3. (Рис. 2.34.)

● За формулою (19) маємо:

Рис. 2.34

О бчислити інтеграл

якщо D обмежена прямими у = 1, у = х, у = – х (рис. 2.35).

● За формулою (20) дістаємо:

Рис. 2.35

З ауваження. Довільну область з кусково-гладкою межею можна розбити на скінченну кількість областей, кожна з яких має вигляд, показаний на рис. 2.33. Тому обчислення подвійно­го інтеграла завжди зводиться до обчислення повторних інтегралів.

О бчислити інтеграл

якщо D — область, обмежена прямими х = у, у = 2х, у = 6 – х (рис. 2.36).

Рис. 2.36

Відрізком АВ поділимо D на два трикутники D₁ і D₂. Тоді

.

За формулою (19) маємо:

Отже,

З мінити порядок інтегрування в повторному інтегралі

● Область зображено на рис. 2.37.

Проекцією множини D на вісь у є відрізок [0; 2]. Кожна пряма перетинає множину D по відрізках з кінцями (у) і (у), які знаходимо як розв’язок рівняння на відрізку [0; ]; , . Таким чином, множина D задається нерівностями:

.

За формулою (19) маємо:

З ауваження. Зміна порядку інтегрування в повторному інтегралі іноді істотно спрощує його обчислення.

6.3.7. Поняття n-кратного інтеграла

Означення: n-вимірним паралелепіпедом V_n у просторі R_n називається множина точок , що задовольняють співвідношення

де

Правило. Об’єм n-вимірного паралелепіпеда визначається рівністю

.

Нехай G — обмежена замкнена область у просторі Rⁿ і функція неперервна в цій області. Гіперплощинами розбиваємо область G на n-вимірні паралелепіпеди, об’єм яких V_i. У кожному такому паралелепіпеді візьмемо довіль­ну точку і утворимо інтегральну суму

. (21)

Означення. Границя інтегральних сум (21) при , , називається n-кратним інтегралом від функції f за областю G і позначається

Для n-кратних інтегралів справджуються всі властивості подвійних інтегралів.

Інтеграл від функції за n-вимірним паралелепіпедом дістаємо послідовним інтегруванням функції f за кожною зі змінних х_і від а_і до b_i в будь-якому порядку.

Для криволінійної області n-вимірний інтеграл обчислюється за формулами, аналогічними (19) і (20).