4.3.5. Наслідки з формул для визначних границь

1. 2. 3. .

4. . 5.

4.3.6. Порівняння нескінченно малих величин

Розглянемо функції , , і припустимо, що

де а — скінчена точка або нескінченність, тобто , , — нескінченно малі величини.

Означення. Нескінченно малі величини і називаються нескінченно малими величинами одного порядку мализни, якщо

Означення. Нескінченно мала величина називається нескінченно малою величиною вищого порядку мализни, порівняно з , якщо

Означення. Якщо границя не існує, то і називаються непорівнянними нескінченно малими величинами.

В еличина — нескінченно мала вищого порядку мализни порівняно з х, оскільки



В еличини і х нескінченно малі при та непорівнянні, оскільки

— не існує. 

Означення. Нескінченно малі величини і при називаються еквівалентними, якщо

Позначення: Еквівалентність нескінченно малих величин і позначається  ~  і означає, що величина  «поводиться як» величина .

В еличини і х при еквівалентні, оскільки

. 

Теорема 1. Для того щоб дві нескінченно малі величини були еквівалентними, необхідно і достатньо, щоб їх різниця була нескінченно малою величиною вищого порядку мализни порівняно з  і .

Доведення. Необхідність. Нехай  і  — еквівалентні нескінченно малі величини при . Знайдемо

Аналогічно,

.

Отже,  — нескінченно мала величина вищого порядку мализни порівняно з  і .

Достатність. Нехай

і . Тоді

Отже, .

Теорема 2. Нескінченно малі величини, які входять до добутку та відношення, можна замінювати їм еквівалентними.

Доведення. Нехай . Шукаємо границю:

Нескінченно мала величина замінюється еквівалентною їй величиною . При цьому значення границі не змінюється. 

Означення. Нехай і — нескінченно малі величини. У разі, коли

говорять, що нескінченно мала величина  має порядок k відносно нескінченно малої величини  або скорочено:  — величина порядку k. Тоді

Величина — називається головною частиною нескінченно малої величини .

П орівняємо нескінченно малі величини і при



Тоді

.

Отже, величина є нескінченно малою другого порядку мализни відносно х. Її головна частина дорівнює .

4.3.7. Шкала еквівалентних нескінченно малих величин

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

З найти границю:

З ауваження. У виразі, який містить суму та різницю, заміна нескінченно малих величин еквівалентними їм може іноді призвести до помилки.

З найдемо границю

 Спосіб 1-й. Скориставшись формулою , запишемо:

.

 Спосіб 2-й. У чисельнику застосуємо формулу :

ВИСНОВОК. Спосіб 1-й помилковий. Якщо в сумі або різниці при заміні нескінченно малих їм еквівалентними взаємно знищу­ються малі вищого порядку, то така заміна неприпустима. 

4.3.8. Властивості функцій неперервних на відрізку

Теорема 1. (Больцано-Коші). Нехай функція неперервна на відрізку [а; b] і на кінцях його набуває значень різних знаків. Тоді на інтервалі (а; b) знайдеться точка с, в якій функція перетворюється на нуль.

Д

Рис. 4.16, а

оведення. Припустивши, для визначеності, що (рис. 4.16, а), розіб’ємо відрізок [а; b] пополам. У точці значення функції f(x) може дорівнювати нулю. У такому разі теорему доведено. Якщо ця функція не перетворюється на нуль у зазначеній точці, то позначимо [а₁; b₁] ту з половин даного відрізка, де на кінцях функція f (x) набуває значень різних знаків. Аналогічно відрізок [а₁; b₁] також розіб’ємо пополам. Якщо в його середині функція перетворюється на нуль, то теорему доведено. Якщо в цій точці функція відмінна від нуля, то позначаємо [а₂; b₂] ту з половин відрізка [а₁; b₁], на кінцях якої набуває значень різних знаків. Міркуючи так, або дістанемо функцію, що стає нулем у середині одного з утворюваних відрізків, або утворимо нескінченну послідовність вкладених відрізків [а; b], [а₁; b₁], [а₂; b₂], … .

Довжина цих відрізків прямує до нуля. Отже, існує точка с, така що . За припущенням маємо тобто і . Це означає, що . 

З ауваження 1. Точок, в яких функція перетворюється на нуль, може бути кілька (рис. 4.16, б).

Рис. 4.16, б

2. Алгоритм, запропонований Коші, придатний для чисельного відшукання коренів функції.

Теорема 2 (Коші). Нехай функція у = f(x) неперервна на відрізку [а; b] і на його кінцях набуває різних значень. Позначимо і . Тоді при будь-якому С: А < C < B знайдеться точка с із [a, b], така що f(с) = С.

Д

Рис. 4.17

оведення. Розглянемо допоміжну функ­цію . Вона неперервна як різниця неперервних функцій. Маємо:

Тоді за теоремою Больцано—Коші знайдеться значення с, для якого і 

Теорема 3 (Вейєрштрасса). Якщо функція у = f(x) визначена і неперервна на деякому відрізку [а, b], то вона обмежена на цьому відрізку.

Доведення. Якщо функція у = f(x) неперервна на відрізку [а, b], то в кожній точці х₀ цього відрізка при деякому заданому знайдеться інтервал , де функція задовольняє не- рівності

,

або

За теоремою Бореля із нескінченного покриття відрізка інтервалами завжди можна вибрати скінченне підпокриття, тобто існує скінченна множина точок з інтервалів , що покривають відрізок , таких що на кожному інтервалі виконується нерівність

Позначимо

За побудовою інтервалів виконується нерівність . Отже, функція обмежена. 

Р озглянемо функцію Вона неперервна на інтервалі (0; 1], але не обмежена (рис. 4.18).

Рис. 4.18

Теорема 4 (Вейєрштрасса). Функція у = f(x), неперервна на відрізку [а, b], досягає на ньому свого найбільшого та найменшого значення.

Доведення. Міркуємо від противного. Нехай функція у = f(x) має точну верхню межу , але не досягає її, тобто при всіх х виконується нерівність .

Розглянемо функцію

.

Вона не перетворюється на нуль, тому вона неперервна і згідно з теоремою 3 обмежена. Існує число , таке що при всіх х, які належать відрізку , маємо: або .

Маємо суперечність. Адже М не є точною верхньою межею функції f(x) при будь-якому х. Отже, припущення не правильне, тобто неперервна функція досягає своєї точної верхньої межі. Це означає, що існує точка , в якій . Розглянемо функцію у = f(x). За доведеним вона досягає свого точного нижнього значення m при . 

Р озглянемо функцію у = х на інтервалі (0; 1). Ця функція обмежена. Її значення мають точну верхню та точну нижню межі. Побудуємо графік (рис. 4.19).

Рис. 4.19

Можна знайти Але точок, в яких функція досягає найбільшого та найменшого значень, немає.