1.2. Пространство элементарных событий. Случайные события

Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Примеры событий:

А – появился герб при бросании монеты;

В – появление трех гербов при трехкратном бросании монеты;

С – попадание в цель при выстреле;

D – появление туза при извлечении карты из колоды; и т.д.

Рассматривая вышеперечисленные события, мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни – большей, другие – меньшей. Причем, для некоторых событий мы сразу же можем решить, какое из них более, а какое менее возможно. Чтобы количественно сравнить между собой события по степени их возможности, очевидно нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы называем вероятностью события.

Рассмотрим множество событий М, которые можно наблюдать в некотором эксперименте. Выделим, прежде всего, два специальных события – достоверное событие – U, которое обязательно происходит в эксперименте, и невозможное событие – V, которое не может произойти в эксперименте никогда.

Для каждого события А из М введем противоположное событие , которое состоит в том, что событие А не произошло.

Событие , заключающееся в том, что из двух событий А и В происходит по крайней мере одно (либо А, либо В, либо А и В вместе), называется суммой (или объединением) событий А и В.

Событие , заключающееся в том, что события А и В происходят одновременно, называется произведением (или пересечением) событий А и В.

Событие А \ В называется разностью событий А и В; оно заключается в том, что происходит А и не происходит В.

Операции над событиями обладают следующими свойствами:

• коммутативность сложения,

• ассоциативность сложения,

• коммутативность умножения,

• ассоциативность умножения,

• законы дистрибутивности;

Предположим, что среди всех возможных событий , которые в данном опыте по воле случая происходят или не происходят, можно выделить совокупность так называемых элементарных событий или элементарных исходов, обладающих следующими свойствами:

• во-первых, все они взаимоисключают друг друга, т.е. являются непересекающимися;

• во-вторых, в результате данного опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий;

• в-третьих, каково бы ни было событие , по наступившему элементарному исходу всегда можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

Элементарные исходы обычно обозначаются греческой буквой , а их совокупность называется пространством элементарных событий.

Достоверное событие U, наступающее в результате любого из элементарных исходов , при таком отождествлении событий множеством совпадает с пространством: .

Невозможное событие V, не наступающее ни при каком элементарном исходе , совпадает с пустым множеством и обозначается .

Теперь можно указать дополнительные свойства операций над событиями:

• 

• 

• 

• 

• 

• законы де Моргана

Два события А и В несовместимы (или несовместны), если (т.е. событие невозможно).

События образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и:

т.е. из этих событий происходит одно и только одно.

ПРИМЕР 8: Победитель соревнования награждается: призом (событие А), денежной премией (событие В), медалью (событие С). Что представляют собой события: а) ; б) ; в) ?

РЕШЕНИЕ: а) Событие состоит в том, что победитель награжден призом, или премией, или призом и премией одновременно.

б) Событие состоит в том, что победитель награжден призом, премией и медалью одновременно

в) Событие состоит в награждении победителя призом и медалью одновременно, без выдачи премии.

Для наглядной иллюстрации алгебры событий воспользуемся диаграммами Эйлера – Венна.

Здесь каждой картинке (прямоугольнику) соответствует пространство элементарных событий .

ПРИМЕР 9: Описать пространство элементарных событий следующего опыта брошены две игральные кости.

РЕШЕНИЕ: Очевидно, элементарным исходом данного опыта можно считать пару чисел , где а – число очков на первой кости, b – число очков на второй кости. Известно, что (1 a, b 6), причем количество очков на первой кости не зависит от того, сколько очков выпадет на второй кости и наоборот. Отсюда получим: