Глава 2

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ В ЭВМ

2.1. Непозиционные системы счисления

Системой счисления называется совокупность приемов обозначения (записи) чисел. Или, в общем случае, это специальный язык, алфавитом которого являются символы, называемые цифрами, а синтаксисом — правила, позволяющие однозначно сформировать запись чисел. За­пись числа в некоторой системе счисления называют кодом числа. Кратко число записывается следующим образом:

О тдельную позицию в изображении числа принято называть раз­рядом, а номер позиции — номером разряда. Число разрядов в за­писи числа называется разрядностью и совпадает с его длиной. В тех­ническом аспекте длина числа интерпретируется как длина разрядной сетки. Если алфавит имеет р различных значений, то разряд a_i в числе рассматривается как р-ичная цифра, которой может быть при­своено каждое из р значений.

Каждой цифре а_i данного числа. А однозначно соответствует ее количественный (числовой) эквивалент - К(а_i)_min. Количественный эквивалент числа А, заданного в определенной системе счисления, является некоторой функцией числовых эквивалентов всех его цифр, т. е.

О чевидно, что при любой конечной разрядной сетке количествен­ный эквивалент числа А будет принимать в зависимости от количе­ственных эквивалентов отдельных разрядов значения от К (A)_min до К (A)_maх.

Диапазон представления (D) чисел в данной системе счисления — это интервал числовой оси, заключенный между максимальными и ми­нимальными числами, представленными заданной разрядностью (дли­ной разрядной сетки):

С уществует бесчисленное множество способов записи чисел цифровыми знаками. Однако любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать:

1. возможность представления любого числа в заданном диапазо­не чисел;

2. однозначность представления;

3. краткость и простоту записи чисел;

4. легкость овладения системой, а также простоту и удобство опе­рирования ею.

В зависимости от целей применения используются различные, системы. Например , человеком для счета и выполнения действий над числами применяется десятичная система, счисления, для исчисления времени — система счисления времени, для нумерации — римская система счисления, в вычислительной технике обычно используется двоичная система счисления и т. д. В зависимости от способа записи чисел и способа вычисления их количественного эквивалента системы счисления можно классифицировать следующим образом (рис. 2.1).

В основном системы счисления строятся по следующему принципу!

г де А(р) - запись числа в системе с базисом p_i; а _i — база или последовательность цифр системы счисления с р_i -ичным алфавитом; {р_i} — базис системы счисления (совокупность весов отдельных разрядов системы).

База системы счисления может быть положительной, и тогда в ней в качестве значений цифр используется набор цифр 0, 1, ..., р-1. Она может быть также смешанной и тогда в ней наряду с положительными цифрами имеются и отрицательные. Например, для симметричной базы с нулем число положительных значений цифр равно числу отрицательных. Значения цифр алфавита в этом случае при р=2t+1 (т. е. при нечетном основании) составляют следующий ряд:

Основанием системы счисления называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов числа для его изображения в данной системе счисления.

Системы счисления со смешанной базой могут быть и при четном основании, но тогда возможно либо применение симметричных алфавитов без нуля (например, при р=2 возможен алфавит +1, -1), либо алфавитов, у которых число отрицательных значений цифр не равно числу положительных (например, при р=4 возможен алфавит -1, 0, 1, 2).

Базис системы счисления — это совокупность весов отдельных разрядов системы счисления. Например, базис десятичной системы представляет собой последовательность: 1, 10, 10², ..., 10ⁿ. Вес разряда Ri числа в любой системе счисления — это отношение Ri= pi/p₀. Поэтому цифру а_i разряда с большим i называют более значимой, чем цифру а_i разряда с меньшим i.

Непозиционными называются такие системы счисления, алфавит которых содержит неограниченное количество символов (цифр), причем количественный эквивалент любой цифры постоянен и зависит только от ее начертания, но не от позиции в числе. Такие системы строятся по принципу аддитивности, т. е. количественный эквивалент числа определяется как сумма рядом стоящих цифр:

г де Qi — символы, образующие базис системы

Наиболее известными представителями непозиционных систем счисления являются иероглифические и алфавитные. Иероглифические — это такие системы счисления, у которых каждая цифра представлена своим символом, значком или иероглифом. Наиболее известной из них является римская система счисления.

Значение записанного числа в римской системе определяется как сумма записанных подряд цифр, причем, если слева от цифры стоит меньшая, то значение последней принимается со знаком минус, например, IX = 9₁₀; XI = 11₁₀, т. е. здесь существует отклонение от правила независимости значения цифры от положения в числе. В настоящее время римская система

используется, в основном, для целей нумерации. Запись чисел в алфавитных системах строится по такому же принципу.

К основным недостаткам непозиционных систем счисления можно отнести!

1) отсутствие нуля;

2) необходимость содержания бесконечного количества символов

3) сложность арифметических действий с числами.