9.2. Уравнения движения жидкости в ламинарном пограничном слое

Рассмотрим стационарное двухмерное движение вязкой жидкости вдоль поверхности, протяженность которой велика, а кривизна мала по сравнению с толщиной образующегося пограничного слоя.

(9.12)

Оценим порядок членов исходных уравнений.

Следовательно,

Толщина пограничного слоя есть величина порядка .

Поскольку , можно считать, что изменением давления поперек пограничного слоя по сравнению с его изменением вдоль слоя можно пренебречь

Таким образом, после оценки членов система уравнений (9.12) может быть упрощена и примет вид

(9.13)

Система уравнений (9.13) носит название уравнений пограничного слоя Прандтля.

Начиная с внешней границы пограничного слоя, поток потенциален, поэтому по уравнению Бернулли

(9.14)

(9.15)

Граничные условия:

при y = 0 u = 0, υ = 0, и на внешней границе слоя: при y → ∞ u → U или для модели пограничного слоя конечной толщины при y = δ u = U ( x ).

9.3. Уравнение импульсов для ламинарного пограничного слоя

Применим теорему сохранения количества движения к объему жидкости, заключенному между двумя бесконечно близко расположенными сечениями пограничного слоя. Расстояние между сечениями равно dx. Выберем в качестве контрольной поверхности контур АВСD, ограничивающий этот объем (рис. 9.4).

(9.16)

(9.17)

.

.

Приравнивая изменение количества движения контрольного объема в единицу времени к сумме действующих на его поверхность сил давления и трения, найдем

_(9.18)

(9.19)

(9.20)

Поскольку

уравнение (9.20) представим в виде

или

(9.21)

После дальнейших преобразований найдем

(9.22)

где

(9.23)

или окончательно

(9.24)

Уравнение (9.24) является интегральным соотношением для пограничного слоя и носит название уравнения импульсов или интегрального соотношения Кармана.

Уравнение импульсов может быть получено также и из уравнений Прандтля (см. пособие).

4. Ламинарный пограничный слой на пластине

Существует два способа решения задач пограничного слоя.

Первый предполагает решение дифференциальных уравнений пограничного слоя с соответствующими граничными условиями.

Второй способ, который в отличие от первого называют приближенным, основан на использовании не дифференциальных уравнений, а уравнений импульсов – интегральных соотношений.

Рассмотрим решение задачи продольного обтекания полу-бесконечной тонкой пластины однородным потоком несжимаемой жидкости.

Начало координат совместим с передней кромкой пластины.

(9.33)

Представим, следуя Польгаузену (Pohlhausen), распределение продольной скорости u в виде полинома третьей степени:

(9.34)

Граничные условия задачи:

(9.35)

Используя граничные условия из уравнения (9.34), найдем

(9.36)

(9.37)

(9.38)

(9.39)

Уравнение импульсов

или

(9.40)

Из формулы (9.40) следует, что толщина ламинарного пограничного слоя на пластине увеличивается пропорционально корню квадратному из расстояния от переднего края пластины, т.е. . Следовательно, .

(9.41)

(9.42)

c_f = 0,646 / = τ_w / (ρU ² / 2) (9.43)

C_f = 1,292 / = X_п / [(ρU ² / 2) 2bl] (9.44)

Точное решение задачи.

Дифференциальные уравнения пограничного слоя

(9.45)

Введём в рассмотрение функцию тока ψ (x, y).

(9.46)

.

Уравнения (9.45) пограничного слоя:

(9.47)

(9.48)

Введем в рассмотрение новую безразмерную переменную

(9.49)

и функцию тока

(9.50)

В новых переменных уравнение (9.47) – обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение третьего порядка:

. (9.55)

Граничные условия задачи:

(9.56)

Анализ результатов численного интегрирования уравнения (9.55) показал, что при безразмерная скорость достигает значения 0,99155. Поэтому с точностью до 1 % можно считать , равное 5, безразмерной толщиной динамического пограничного слоя,

(9.57)

или

(9.58)

Отсюда следует, что толщина пограничного слоя возрастает с удалением от передней кромки пластины пропорционально . Этот вывод подтверждает ранее сделанное аналогичное заключение.

Основной интерес представляет продольная составляющая скорости. Поперечная составляющая имеет второстепенное значение.

Найденные распределения и будут одни и те же на любом расстоянии от передней кромки пластины. Это является следствием подобия их размерных распределений в различных поперечных сечениях пограничного слоя.