Тогда из выражения (47) имеем

Y + Y = A(X + X) + B, (48)

вычтя (47) из (48), получим

Y = AX. (49)

Если X – погрешность измерения величины X, то соответственно Y будет погрешностью результата.

В общем случае, если Y = f(X), то для погрешностей, малых по сравнению с измеряемой величиной, мы можем с достаточной точностью написать

X = f'(X)X . (50)

Если мы хотим найти величину относительной погрешности, то из (50) легко получаем

Y/Y = [f’(X)/f(X)]X. (51)

Эти определения относятся и к случайным и к систематическим погрешностям.

2. Простейший случай, когда интересующая нас величина явля­лась суммой двух или нескольких независимо измеряемых величин X₁, X₂, ...,X_n, мы уже разбирали и написали для вычисления случайных погрешностей правило сложения дисперсий (26).

Теперь дадим правила вычисления погрешностей для случаев произведения и частного.

Если Y = X₁X₂X₃, то

_Y² = (X₁X₂_X3)² + (X₂X₃_X1)² + (X₁X₃_X2)². (52)

Аналогично вычисляются погрешности для большего числа сомно­жителей .

Если Y = X₁/X₂, то

_Y² = (_X1/X₂)² + (X₁/X₂)_X2². (53)

Относительные погрешности для случаев (52) и (53) выглядят одинаково:

(_Y/Y)² = (_X1/X₁)² + (_X2/X₂)² + (_X3/X₃)². (54)

и аналогично

(_Y/Y)² = (_X1/X₁)² + (_X2/X₂)² (55)

Пользуясь обозначениями дифференциального исчисления, можно погрешность функции Y от переменных X₁, X₂, ..., X_n представить в виде

_Y = {₁ⁿ [(f/X_i)_Xi]²}^1/2. (56)

Формулы (5256) сохраняют свой вид, если вместо  мы возь­мем среднеквадратические погрешности ⁿS, вероятные p или среднеарифметические r.

В общем виде

Y = {₁ⁿ [(f/X_i)X_i]²}^1/2. (57)

Относительную погрешность величины Y легко вычислить, на­писав

(Y/Y)² = ₁ⁿ [(1/f)( f/X_i)X_i]².

Так как

(1/f)(f/X_i) = lnf/X_i, (58)

то для относительной погрешности получаем

Y/Y = {₁ⁿ [ lnf/X_i)X_i]²}^1/2. (59)

Может возникнуть вопрос, как правильнее вычислять среднеариф­метическое значение и погрешность результата в случае косвенных измерений?

Если у = f(x) и измерения дают нам ряд значений x_i, то мож­но поступить двояким образом:

1) вычислить <x> = ⁿx_i/n и, подставив это значение в уравне­ние у = f(x), получить <у> = f(<x>);

2) для каждого из значений x_i вычислить у_i = f(x_i), а затем определить у по соотношению <y> = ₁ⁿ y_i/n. (60)

Соответственно двумя способами можно определять и погреш­ность величины y: либо, определив погрешность величины <x>, воспользоваться соотношением

y = f'(x)x, (61)

либо, вычислив ряд значений y_i определить погрешность величи­ны y обычным путем, например,

_<y> = {₁ⁿ (<y> – y_i)²/(n –1)}^1/2.

Можно показать, что если погрешности измерений малы по срав­нению с измеряемой величиной (именно это предположение положе­но в основу всех наших формул), то оба способа дают достаточно близкие результаты, и поэтому безразлично, каким из них пользо­ваться.

Здесь следует руководствоваться практическими удобствами рас­чета, а с этой точки зрения первый способ представляется менее трудоемким. Кроме того, если результаты измерений распределены по нормальному закону, то закон распределения величин y, вооб­ще говоря, отличен от нормального.

Поэтому для определения до­верительных интервалов по табл.IV лучше пользоваться первым способом. Если же применять второй способ, то целесообразно убе­диться в близости полученного распределения к нормальному.

12. СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

РАЗЛИЧНОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ

При косвенных измерениях нужный нам результат обычно отягчен случайными погрешностями» различными для разных величин X_i, от которых зависит интересующая нас величина Y.

Результирующая погрешность и в этом случае определяется с помощью уже извест­ного нам закона сложения случайных погрешностей. Вычисление удобнее выполнять, пользуясь относительными погрешностями.

Поясним это на примере определения плотности. Допустим, что в нашем распоряжении имеется прямоугольный параллелепипед из вещества, плотность которого нужно определить. Длины его граней X₁, X₂ и X₃. Для определения плотности d = m/V (где т – масса параллелепипеда, V – его объем) мы измеряем длины гра­ней и массу нашего образца. Пусть X₁, X₂, X₃ – среднеквадра­тические погрешности измерения длин граней, а _m – погреш­ность определения массы. Тогда, согласно формуле (26),

(_d/d)² = (_m/m)² + (_X1/X₁)² + (_X2/X₂)² + (_X3/X₃)².

Допустим, что взвешивание производится на аналитических ве­сах, дающих погрешность около 1 мг при массе образца около 10 г. Тогда _m/m  10^–4  10^–2 %.

Пусть объем нашего тела около 1 см³. Если мы хотим, чтобы точность измерения плотности тела определялась в основном точ­ностью взвешивания, то необходимо, чтобы погрешность в измере­нии длин граней была меньше погрешности взвешивания, то есть _X/X < 10^–4; это при размере граней в 1 см означает, что _X должна быть меньше 10^–4 см. Если в нашем распоряжении для измерения длины есть инструменты типа штангенциркуля, допускающего погреш­ность до 0.01 см, то очевидно, что необходимой степени точности мы не получим, так как точность измерения длины составит всего 100. В этом случае для взвешивания можно пользоваться более грубыми весами, дающими погрешность в несколько десятков раз большую, например, так называемыми техническими. Это будет и более целесообразно, ибо потребует меньшей затраты времени и средств. Однако если нам все же необходимо определить плотность с точностью 10⁴, то следует для из­мерения сторон параллелепипеда пользоваться очень точным микро­метром, позволяющим измерить длину с погрешностью, меньшей чем 10^–3 мм, и в этом случае необходимо взвешивать на аналитиче­ских весах.

Н а приведенном примере можно проследить еще некоторые свой­ства резуль­тирующей погрешности, являющиеся следствием закона суммирования погрешно­стей.

Допустим, что наш параллелепипед имеет плоскую форму, то есть X₁ << X₂  X₃ (рис.13).

Большинство инструментов, применяемых для измерения длины, дает погрешность x, величина которой почти не зависит от из­меряемой длины (в пределах измерения данным инструментом).

Абсолютная погрешность постоянна (см. стр.15). Поэтому мы и положим _X1 = _X2 = _X3 = _x, но в этом случае

_X1/X₁ >> _X2/X₂  _X3/X₃

и определяющей будет погрешность измерения самой малой грани.

Практически, если одна грань в 34 раза меньше двух других, то погрешностями измерения последних можно пренебречь.

Таким образом, формула (57) всегда позволяет сделать оценку роли погрешностей в различных звеньях измерительного процесса. Причем условия измерений наиболее рационально выбрать так, что­бы относительные погрешности каждого звена были приблизительно одинаковыми. В противном случае точность результата обычно за­дается какой-то одной величиной, а именно той, точность изме­рения которой наименьшая.

13. СОГЛАСОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ СО СВОЙСТВАМИ ИЗМЕРЯЕМОГО ОБЪЕКТА

Вернемся к примеру с измерением плотности. В том случае, когда необходимо измерить ее с высокой степенью точности, кото­рая определялась бы в основном погрешностью взвешивания на ана­литических весах, нужно, как мы говорили, измерять длины ребер с погрешностью, меньшей 1 мкм. Однако легко показать, что без дополнительных мер предосторожности измерение длин с такой по­грешностью все же не приведет к нужной точности в измерении объема.

Д ействительно, объем параллелепипеда V мы положили равным X₁X₂X₃. На самом деле он отличается от этой величины в первую очередь потому, что у реально­го параллелепипеда углы не равны точ­но 90°, а поверхности не строго плос­кие. Легко показать, что если один из углов квадрата имеет погрешность в 1°, то это даст погрешность в его площади около 1%.

Для того чтобы объем куба можно было измерить с точностью 10.000 без учета поправок на отклонение углов от 90, необходимо, чтобы утлы были выполнены с отклонением меньше минуты. Достичь такой точности углов в процессе изготов­ления трудно, и для многих изделий утлы отягчены большей погреш­ностью. Погрешность, определяемая отклонением поверхностей парал­лелепипеда от плоскости, чаще всего невелика, но если поверхность, например, сильно шероховата, то последнее может внести заметное искажение в измерение длин, как это легко понять из рис.14, на котором шероховатость представлена в увеличенном виде. В резуль­тате неровности поверхности измеренный объем всегда будет боль­ше истинного. Для случая определения плотности описанным мето­дом чаще всего именно погрешности углов параллелепипеда будут ограничивать точность измерения его объема.

И поэтому нет смысла доби­ваться точности измерения длин большей, чем та, которая может быть достигнута при применении соотношения V = X₁X₂X₃, то есть без учета погрешно­стей, допущенных при изготовлении парал­лелепипеда. Эта ситуация совершенно аналогична описанной нами, когда речь шла о роли систематических и случайных погрешностей. Мы тогда указывали, что нет особого смысла стремиться сделать случайную погрешность значительно меньше, чем та систематиче­ская погрешность, которая определяется классом точности измери­тельного устройства. Совершенно также нет смысла добиваться, чтобы погрешность измерений была меньше погрешности, определяе­мой той схематизацией, которая принята при наших измерениях. В самом деле, любая формула, устанавливающая количественную связь между физическими величинами, является некоторой матема­тической моделью, в действительности удовлетворяющейся с тем или иным приближением.

В нашем примере не были учтены отклонения углов параллеле­пипеда от 90° и его поверхности от плоскости. Нетрудно написать более сложную формулу для объема с учетом этих обстоятельств. Но такая формула также всегда будет лишь некоторым приближени­ем к действительности, и погрешность наших измерений должна быть согласована с соответствием принятой, модели реальным свой­ствам измеряемого объекта.

Оценку необходимой точности следует делать в результате тща­тельного анализа условий опыта и факторов, влияющих на конеч­ный результат.

14. УЧЕТ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ И СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Ранее мы говорили» что измерения следует организовать так, чтобы погрешность результата целиком определялась систематиче­ской погрешностью измерений, которая не может быть меньше по­грешности измерительного прибора. Для этого рекомендовалось про­вести такое число измерений, чтобы случайная погрешность резуль­тата была незначительна по сравнению с систематической погреш­ностью.

Однако не всегда возможно осуществить необходимое число из­мерений. Этому может препятствовать высокая стоимость измерений, а для изменяющихся со временем величин иногда процесс измерения оказывается слишком длительным и мы просто не успеваем произ­вести достаточное число измерений.

В результате часто приходится мириться с положением, когда систематическая и случайная погрешности измерений близки друг к другу и они обе в одинаковой степени определяют точность резуль­тата. К сожалению, в этом случае трудно дать достаточно строгое определение суммарной погрешности измерений.

Когда мы имеем дело только с погрешностью прибора, то, ука­зывая, как в примере с миллиамперметром, погрешность ±0.75 мА, мы, естественно, не зная свойств данного прибора, ничего не можем сказать о том, какова вероятность сделать погрешности +0.2 или –0.3 мА. Мы знаем только верхнюю границу возможных погрешностей. Если к такой систематической погрешности присоеди­няется случайная, то, очевидно, также почти ничего нельзя сказать о вероятности появления погрешностей различной величины, но можно оценить значения суммарных погрешностей.

В самом деле, если величину систематической погрешности обо­значить , а дисперсию измерений – ², то в качестве верх­ней границы суммарной погрешности  мы можем принять

 =  + 2. (62)

Действительно, с вероятностью более 0.95 мы можем утверж­дать, что результаты измерений не будут отличаться от истинного значения на величину, превышающую .

Такое правило сложения можно распространить на систематиче­ские погрешности любого происхождения.

Подчеркнем еще раз, что вопрос о сложении систематических и случайных погрешностей актуален только тогда, когда одна из них не более чем в несколько раз превышает другую. В противном случае в качестве меры погрешности измерения следует указывать только большую погрешность.

Отметим, что, не имея строгого решения, вопрос о правилах сложения систематической и случайной погрешностей можно решать разным образом.

Иногда рекомендуют вообще отказаться от нахождения суммар­ной погрешности и давать в качестве меры погрешности измерений две погрешности - систематическую и случайную.

Однако, чтобы воспользоваться результатом измерений, нам, как правило, нужно знать общую его погрешность вне зависимости от причин, ее породивших.

Поэтому приходится каким-то образом ком­бинировать систематическую и случайную погрешности для получе­ния единой числовой характеристики точности измерений.

Одно из возможных правил нахождения такой суммарной погреш­ности состоит в том, что мы условно полагаем систематическую погрешность распределенной также по нормальному закону и счита­ем, что указанная величина этой погрешности  соответствует утроенному значению среднеквадратической условной погрешности ', то есть   3'. В этом случае суммарную погрешность нужно писать так:

 = [9(')² + 9²]^1/2 = [² + 9²]^1/2. (63)

Погрешности  тогда можно приписать доверительную вероят­ность 0.997. Легко показать, что различие, даваемое формулами (62) и (63), невелико. Практически (так как мы не знаем истинно­го закона распределения систематических погрешностей) можно поль­зоваться любой из них для ориентировочных оценок суммарной по­грешности.

Бели известно, что результаты измерения содержат систематиче­ские погрешности ₁, ₂, ... , _n и случайную , то для нахожде­ния суммарной погрешности  часто служит формула

 = [² + ⁿ _i²]^1/2. (64)

В книге Тейлора с соавторами [18] при обсуждении применимос­ти этой формулы указывается, что она дает общее среднеквадрати­ческое отклонение, если все систематические погрешности независи­мы и каждая характеризуется своим значением . Далее авторы пишут: "Хотя нельзя сказать точно, удовлетворяют ни этому усло­вию систематические погрешности, принято считать, что удовлетворяют". К сожалению, последняя оговорка в значительной мере обесценивает обоснованность применения формулы (64), но ею все же широко пользуются даже при таких ответственных процедурах, как согласование численных значений основных физических констант.

В защиту формулы (64) можно, однако, привести следующее: систематические погрешности в данной серии измерений име­ют постоянное, но неизвестное нам значение, которое может оказаться иным в другой серии, или при других условиях эксперимента. Значения  в формулах (62)(64) – это не истинные значения систематических погрешностей, которые нам неизвестны, а наши оценки этих погрешностей. Такие оценки посто­янных величин являются величинами случайными.

А если погреш­ностей  несколько, то можно с некоторой долей уверенности го­ворить и о нормальном законе распределения систематических по­грешностей.

Отметим, что погрешность  также является постоянной величи­ной, точное значение которой нам неизвестно. Взамен него во всех вычислениях всегда фигурирует случайная величина ⁿS, кото­рая служит оценкой , тем лучшей, чем больше n.

Поэтому формулу (64) следует признать вполне закономерной.

15. ОПТИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО ИЗМЕРЕНИЙ

Для уменьшения случайной погрешности результата, как мы уже знаем, могут быть использованы два пути: улучшение точности из­мерений, то есть уменьшение величины , и увеличение числа изме­рений, то есть использование соотношения _<x> = n^1/2.

Сейчас будем говорить только о последнем приеме, условна счи­тая, что все возможности совершенствования техники измерений уже использованы.

Пусть систематическая погрешность измерений, определяемая классом точности прибора или другими аналогичными обстоятель­ствами, будет .

Известно, что уменьшать случайную погрешность целесообразно только до тех пор, пока общая погрешность измерений не будет полностью определяться ее систематической составляющей. Для этого необходимо, чтобы доверительный интервал, определенный с выбранной степенью надежности, был существенно меньше величины систематической погрешности, то есть

x << . (65)

Разумеется, нужно условиться, какой степени надежности мы требуем и какую величину для случайных погрешностей следует считать допустимой, то есть какое соотношение величин x и  можно считать удовлетворяющим условию (65). Строгую оценку этого сделать трудно, однако можно исходить из того, что, как правило, нет необходимости определять общую погрешность с точ­ностью, большей 10. Это означает, что в том случае, когда x  /10, условие (65) можно считать выполненным. Прак­тически обычно можно удовлетвориться гораздо менее жестким тре­бованием: x  /3 или даже x  /2.

Надежность , с какой мы хотим установить доверительный ин­тервал, в большинстве случаев не должна превышать 0.95, хотя иногда требуются и более высокие значения . Для оценки опти­мального числа измерений в Приложении помещена табл.V [14], в которой x дано в долях средней квадратической погрешности. Приведем примеры пользования этой таблицей.

1. Измеряется диаметр шарика с помощью микрометра, имеющего погрешность в 1 мкм. Средняя квадратическая погрешность единичного измерения равна 2.3 мкм. Сколько измерений нужно проделать, чтобы получить погрешность не более 1.5 мкм с надежностью 0.95?

Положим x = /2 = 0.5 мкм, ⁿS = 2.3 мкм, x = (0.5/2.3)ⁿS = 0.22ⁿS .

Из табл.V для  = 0.95 при  = 0.3 находим п = 46 и при  = 0.2 n = 100. Составив соответствующую пропорцию, легко рассчитать, что для  = x/S = 0.22 требуется n  57.

Таким образом, нужно сделать около 60 наблюдений, чтобы случайная погрешность изменила общую погрешность результата измерений не более чем в полтора раза.

Интересно посмотреть, сколько нужно сделать измерений, если мы наложим еще менее жесткое требование, а именно чтобы систематическая и случайная погрешности были примерно равны по ве­личине.

В этом случае полагаем  = x = 0.45S, тогда из той же табл.V находим (для  = 0.95) n  23.

Мы видим, что число необходимых измерений получалось хотя и большое, но такое, которое часто может быть выполнено.

2. Относительная среднеквадратическая погрешность для некото­рого измерения составляет 1%. Систематическая погрешность изме­рений  = 0.1%.

Сколько измерений нужно проделать, чтобы случай­ная погрешность практически не играла роли?

Так как все погрешности выражены в относительных единицах, то

x/ = 0.05/1 = 0.05.

Из табл.V находим для той же доверительной вероятности  = 0.95 и для x/ = 0.05 требуется n = 1500(!).

Очевидно, что практически такое число измерений обычно про­делать нельзя.

Из этих примеров можно сделать заключение, что увеличением числа измерений можно устранить влияние случайной погрешности на результат только в том случае, если средняя квадратическая погрешность не более чем в несколько раз превосходит системати­ческую погрешность. Реально это возможно, если   5

При больших значениях  для существенного уменьшения роли случай­ной погрешности уже требуются сотни и тысячи, а иногда десятки тысяч измерений, как это видно из табл.V.

При такой ситуации для уменьшения общей погрешности резуль­тата измерений необходимо радикально менять методику с тем, что­бы существенно уменьшить случайную погрешность измерений.