3. Теорема про додавання швидкостей

На підставі рисунку 3.1 можна записати наступне співвідношення, що зв'язує радіус-вектори , і :

.

(3.10)

Визначимо тепер абсолютну швидкість т. , пам’ятаючи при диференціюванні рівності (3.10), що радіус-вектори і орти є функціями часу, -

,

(3.11)

а оскільки т. має у рухомій с. к. координати (тобто ), то можна записати співвідношення (3.11) у наступному вигляді:

.

(3.12)

Зупинимо переносний рух, тобто зафіксуємо положення рухомої с. к. відносно нерухомої. В цьому випадку вектори і будуть постійними і тоді вираз

(3.13)

представляє відносну швидкість т. , - фізичну величину, яка характеризує швидкість зміни положення точки у її відносному русі.

Потім «зупинимо» відносний рух, тобто будемо вважати, що положення т. у рухомій с. к. не змінюється (тобто координати і є сталими величинами). Тоді з формули (3.12) отримаємо вираз

,

(3.14)

який характеризує швидкість зміни положення т. у переносному русі і називається переносною швидкістю.

Враховуючи введені означення, формулу (3.12) можна переписати наступним чином:

.

(3.15)

Таким чином доведена теорема про додавання швидкостей: абсолютна швидкість точки ( ) при складному її русі дорівнює векторній сумі відносної ( ) та переносної ( ) швидкостей.

4. Теорема про додавання прискорень (теорема Коріоліса)

Знайдемо абсолютне прискорення т. . Для цього продиференціюємо вираз (3.12) для абсолютної швидкості цієї точки за часом:

(3.16)

Знову «зупинимо» переносний рух, зафіксувавши положення рухомої с. к. відносно нерухомої. Тоді вектори і є сталими і із рівності (3.16), враховуючи, що в цьому випадку абсолютне прискорення збігається з відносним , маємо

.

(3.17)

Якщо тепер уявно зупинити т. , то тоді абсолютне прискорення стає рівним переносному прискоренню , і, помітивши, що відносні координати т. - залишаються сталими, із рівності (3.16) отримаємо

.

(3.18)

Таким чином, у формулі (3.16) залишився непозначеним доданок

,

(3.19)

що називається прискоренням Коріоліса (поворотним прискоренням). Ця фізична величина характеризує швидкість зміни переносної швидкості у відносному русі і відносної швидкості у переносному (фізичний зміст прискорення Коріоліса).

Зробимо більш детальний аналіз цього прискорення.

Перш за все відмітимо, що у випадку переносного поступального руху прискорення Коріоліса відсутнє (у цьому разі орти є векторними константами і похідні від них за часом обертаються в нуль). Наприклад, .

У випадку переносного обертального руху навколо будь-якої осі (див. рис. 3.4) маємо наступні співвідношення (за формулою Ейлера)

Рис. 3.4. До виводу формули Коріоліса.

, а крім того, за аналогією, , . (3.20) Тоді, подставивши ці співвідношення (3.20) у формулу (3.19), отримаємо вираз або , (3.21)

яке представляє формулу Коріоліса, що читається наступним чином:

прискорення Коріоліса дорівнює подвоєному векторному добутку вектора кутової швидкості переносного руху і вектора відносної (лінійної) швидкості точки.

Підставивши тепер вирази (3.17) - (3.19) в (3.16), будемо мати

,

(3.22)

що є математичним записом теореми Коріоліса:

абсолютне прискорення точки дорівнює векторній сумі трьох прискорень: переносного, відносного і коріолісового.

За формулою (3.21) знайдемо модуль коріолісового прискорення

.

(3.23)

Коріолісове прискорення дорівнює нулю у трьох випадках:

1. (переносний рух - поступальний);

2. - точка у відносному русі зупинилася.

3. , тобто вектори і колінеарні (що звичайно позначається так: ).

Завдання: шляхом диференціювання формули (3.11) та подальшого аналізу довести, що .

Задача: Компресор з криволінійними каналами обертається навколо осі із заданою кутовою швидкістю . Повітря тече по каналам з постійною відносною швидкістю . Знайти проекції абсолютної швидкості та прискорення на осі координат для частки повітря, що знаходиться у точці каналу , якщо радіус кривини каналу у точці дорівнює , а кут між нормаллю до кривої у точці і радіусом дорівнює . Радіус дорівнює (див. рис. 3.4).

Дано: , , , , .

Знайти: .

Рис. 3.4. Компресор з криволінійними каналами.

Розв'язання Рух по каналу є відносним рухом, а крива являє собою траєкторію відносного руху. Рух т. відносно нерухомої системи координат - абсолютний, його траєкторія - спіраль. Переносний рух – це рух тієї точки каналу, в якій у даний момент часу знаходиться т. , тобто по колу радіуса . Для знаходження скористаємося теоремою про додавання швидкостей . Обчислюємо із рівняння обертального руху, «зупинивши» відносний рух: .

Тоді

.

Для визначення абсолютного прискорення застосуємо теорему про додавання прискорень

.

визначимо, «зупинивши» переносний рух колеса і згадавши отримані раніше співвідношення для складових повного прискорення при довільному криволінійному русі (див. рис. 3.5 а) і при обертанні точки навколо нерухомої осі (рис. 3.5 b):

,

(a) Довільний криволінійний рух	(b) Обертання навколо нерухомої осі
Рис. 3.5. Співвідношення для складових повного прискорення.

де (оскільки ), , звідки випливає, що .

Для визначення «зупинимо» відносний рух, тоді маємо

,

причому

(оскільки ),

.

Таким чином, .

Коріолісове прискорення знайдемо, скориставшись формулою:

,

а саме:

.

Потім знаходиться абсолютне прискорення шляхом проектування кожного з векторів правої частини на осі ; знаходження сум проекцій вказаних векторів на осі і - , і визначення модуля вектора абсолютного прискорення .

Отже, маємо:

Тоді остаточно отримаємо:

,

де .

Відповідь: , , де .

27