4. 3. Складання обертань навколо паралельних осей

Розглянемо складання обертань тіла ІІ (рис. 4.3) навколо паралельних осей з різними кутовими швидкостями, напрямленими в один (рис. 4.3, а) або різні (рис. 4.3, б) боки.

а)	б)
Рис. 4.3. Складання обертань навколо паралельних осей.

Теорема. Сукупність двох миттєвих обертань твердого тіла навколо паралельних осей, що не утворюють пару обертань¹, еквівалентна одному обертанню навколо миттєвої осі з кутовою швидкістю, що дорівнює векторній сумі миттєвих кутових швидкостей складових обертань. При цьому миттєва вісь ділить внутрішнім або зовнішнім чином відстань між осями складових обертань на частини, обернено пропорційні модулям кутових швидкостей, залежно від того, в один чи різні боки напрямлені вектори кутових швидкостей складових обертань.

Д о в е д е н н я

Воно грунтується на теоремі про додавання швидкостей. Якщо позначити через - абсолютну кутову швидкість, - миттєвий центр швидкостей (точка, швидкість якої у даний момент часу дорівнює нулю), - вектор , то

.

(4.5)

Враховуючи, що , і підставляючи ці вирази у формулу для , дістанемо

.

(4.6)

Оскільки перші два доданки є абсолютною швидкістю миттєвого центра швидкостей точки , яка дорівнює нулю:

,

(4.7)

то остаточно одержимо

,

(4.8)

де

.

(4.9)

Оскільки осі і паралельні, то складові швидкості ( ) перпендикулярні до площини осей і , тобто тіло у цьому разі здійснює плоский рух. Таким чином, вектори і лежать на одній прямій, але напрямлені у різні боки (рис. 4.3). Звідси випливає рівність значень переносної і відносної швидкостей точки , з якої знайдемо

, що і треба було довести.

(4.10)

Якщо кутові швидкості і напрямлені в один бік, то , а якщо в різні, то і напрямлене у бік більшої з кутових швидкостей.

Складання обертань навколо паралельних осей найчастіше реалізується в редукторах, роботах, тощо.

4.4. Пара обертань

Парою обертань (рис. 4.4) називається сукупність двох обертань твердого тіла, що відбуваються відносно паралельних осей і з рівними за величиною, але протилежно напрямленими кутовими швидкостями ( ).

Рис. 4.4. Пара обертань.

Теорема. Пара обертань еквівалентна миттєво-поступальному руху зі швидкістю, що дорівнює моменту пари кутових швидкостей. Д о в е д е н н я Системи відліку вибираємо так само, як і раніше. Нехай тіло І (с. к. ) (рис. 4.4) обертається з кутовою швидкістю , а тіло ІІ (с. к. ) обертається відносно тіла І навколо паралельної осі з кутовою швидкістю і . Знайдемо абсолютну швидкість довільної точки у тілі ІІ, радіус-вектор якої в с. к. позначимо , а в - . Позначимо .

Тіло ІІ здійснює складний рух, тоді за теоремою про додавання швидкостей маємо

.

(4.11)

Враховуючи, що , , і , одержимо

,

або

.

(4.12)

Із цієї формули випливає, що всі точки тіла в певний момент часу мають однакову швидкість, бо вектори і не залежать від положення довільної точки . Таку властивість має миттєво-поступальний рух. Векторний добуток називається моментом пари обертань.

Очевидно, що сукупність пар обертань еквівалентна одній парі, тобто миттєво-поступальному руху.