6.2. Кінематичні формули Ейлера. Кутове прискорення тіла

Ці формули являють собою проекції вектора на осі рухомої або нерухомої с. к. Знайдемо проекції цього вектора (беручи до уваги формулу (6.4) і табл. 6.1) на осі рухомої системи координат:

.

(6.5)

Оскільки складові вектора мають вигляд

,

(6.6)

то підставляючи ці вирази у формулу (6.4), а потім в (6.5), матимемо

(6.7)

Якщо врахувати наступні співвідношення між ортами:

,

,

;

;

,

то формули (6.7) можна переписати у вигляді:

(6.8)

Це і є кінематичні формули Ейлера у проекціях на осі рухомої с. к. .

Для перевірки знайдемо модуль вектора кутової швидкості :

.

(6.9)

Напрямок вектора визначається напрямними косинусами

, , .

Шляхом диференціювання проекцій вектора кутової швидкості можна знайти проекції миттєвого кутового прискорення :

,

,

,

модуль вектора :

,

(6.10)

і його напрямні косинуси:

, , .

Зауважимо, що вектор напрямлений по дотичній до годографа вектора , але останній весь час змінює своє положення у просторі, тобто ці два вектора не напрямлені вздовж осі обертання і не є колінеарними (як це було у випадку обертання навколо нерухомої осі), - їх напрямки утворюють прямий кут.

6.3. Розподіл швидкостей при обертанні тіла з нерухомою точкою

Скористаємось визначенням швидкості при векторному способі опису руху точки такого тіла (формулою Бура) за умови, що

,

(6.11)

де вектор визначається формулами (6.8) і (6.9).

Запишемо рівняння (6.11) у вигляді визначника

,

(6.12)

тоді проекції вектора швидкості на осі рухомої системи координат визначаться формулами

.

(6.13)

Модуль вектора і його напрямні косинуси визначаються за відомими формулами:

, , , .

(6.14)

6.4. Миттєва вісь обертання

Оскільки вектор миттєвої кутової швидкості завжди напрямлений вздовж миттєвої осі обертання, то має сенс визначити її положення та відповідні рівняння.

Миттєвою віссю обертання називається пряма, що проходить через нерухому точку і яка характеризується тим, що всі точки цієї прямої мають нульові швидкості.

,

(6.15)

тоді для точок, що утворюють миттєву вісь обертання, матимемо

.

(6.16)

Векторне рівняння (6.16) можна переписати у вигляді

,

(6.17)

звідки отримуємо

.

(6.18)

Звідси остаточно маємо

(6.19)

- рівняння миттєвої осі обертання в рухомій системі координат.