Примеры решения задач

П ример 1. Три точечных заряда расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?

Дано: .

Найти: .

Решение. Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы какой-нибудь один из трех зарядов, например , находился в равновесии.

Заряд будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (рис. 6):

, (1)

где _{, ,} – силы, с которыми действуют на заряд заряды , , .

Заменим векторное равенство (1) скалярным соотношением в проекции на ось . Учитывая расположение зарядов, выберем ось , проходящую через заряды и , то есть совпадающую с биссектрисой угла равностороннего треугольника:

.

Учитывая, что , получим:

.

Применяя закон Кулона и имея в виду, что , получим:

или

.

Выполнив преобразования, найдем

. (2)

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует:

.

C учетом этого формула (2) примет вид:

.

Подставив численные значения, получим

Ответ:

Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.

Пример 2. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами и . Расстояние между двумя зарядами . Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии от первого заряда, на расстоянии от второго заряда (рис. 7).

Дано: , , , , .

Найти: Е.

Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как векторная сумма напряженностей и полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

.

Напряженность электрического поля, создаваемого в вакууме первым зарядом :

,

вторым зарядом :

.

Вектор (рис.7) направлен по силовой линии от заряда q₁, так как заряд положителен; вектор направлен так же по силовой линии, но к заряду , так как заряд отрицателен.

Абсолютное значение вектора найдем, используя теорему косинусов:

, (3)

где  – угол между векторами и может быть найден из треугольника со сторонами , и d,

.

Производя подстановку в уравнение (3) и вынося общий множитель за знак корня, получим:

.

Подставив численные значения, получим:

Ответ: .

Пример 3. Очень длинная нить равномерно заряжена с линейной плотностью . Найти модуль и направление напряженности поля в точке, которая отстает от нити на расстояние и находится на перпендикуляре к нити, проходящем через ее конец.

Дано: , .

Найти: , угол – угол наклона вектора к оси .

Решение. Здесь нельзя вычислить напряженность по формуле для бесконечно длинной нити, так как заданная точка расположена вблизи нити, но и одного из ее концов. Задача сводится к нахождению и – проекций вектора (рис. 8 а, б).

Рассмотрим элемент нити . Пусть он находится от точки на расстоянии . Заряд элемента . Напряженность поля , созданного этим зарядом в точке , равна

.

Начнем с .Элемент заряда дает следующий вклад в :

(1)

Приведем это выражение к виду, удобному для интегрирования. В качестве переменной величины здесь удобно выбрать угол , который составляет радиус-вектор с нормалью к нити. Как видно из чертежа (рис. 8 а),

; .

Тогда

.

Проинтегрировав это выражение по от 0 до , найдем :

.

Для нахождения проекции достаточно обратить внимание на то, что отличается от просто заменой в (1) на . Тогда

и

Получили результат: независимо от , т.е. вектор ориентирован под углом к нити. Модуль вектора из (рис. 8 б)

.

Пример 4. Точечный заряд расположен на продолжении оси диполя, электрический момент которого , на расстоянии от центра (ближе к положительному заряду диполя). Какую работу надо совершить, чтобы перенести этот заряд в симметрично расположенную точку по другую сторону диполя? Плечо диполя (рис. 9).

Дано: , , , .

Найти: А.

Решение. Работа , совершаемая внешними силами при перемещении заряда в электрическом поле, равна работе сил поля, взятой с обратным знаком:

(5)

где , – потенциалы соответственно начальной и конечной точек.

Поле создается двумя точечными зарядами и диполя, и потенциалы точек 1 и 2 следует искать методом суперпозиции. Как видно из рисунка 9, точка 1 находиться на расстоянии от положительного заряда и на расстоянии от отрицательного заряда. В соответствии с этим потенциал первой точки:

, (6)

где _, – потенциалы в первой точке, созданные соответственно положительным и отрицательным зарядами (учитываем, что потенциал от положительного заряда – положителен, от отрицательного заряда – отрицателен):

Аналогично потенциал второй точки:

. (7)

Приведем к общему знаменателю каждое из выражений (6) и (7):

(8)

. (9)

Если учесть, что и при членами можно пренебречь, то выражения (8) и (9) примут вид:

Подставив эти выражения в уравнении (5), получим:

Пример 5. Найти напряженность поля, потенциал которого имеет вид:

1) , – постоянная;

2) , – постоянный вектор,

– радиус-вектор интересующей нас точки поля.

Решение. Рассмотрим первое задание.

1. Воспользуемся формулой:

, (1)

где величина, стоящая в скобках, есть не что иное, как градиент потенциала . Выразим вектор напряженности через проекции на координатные оси:

. (2)

Сравнивая соотношения (1) и (2), получаем, что

; ; . (3)

Найдя частные производные потенциала по координатам, тем самым получаем проекции вектора на соответствующие координаты

; , .

Подставим частные производные в соотношение (1), получаем искомый вектор :

.

2. Рассмотрим второе задание.

Представим сначала функцию как

,

где – скалярное произведение векторов ; , , – проекции вектора на координатные оси.

После этого с помощью формул (1, 2, 3) находим проекции вектора напряженности на координатные оси:

; ; .

Искомый вектор напряженности во втором случае примет вид:

Видно, что поле вектора является во втором случае однородным.

Ответ: ; .

Пример 6. Расстояние между пластинами плоского воздушного конденсатора, присоединенного к источнику напряжения с ЭДС  равно . Площадь пластин конденсатора . Найти работу по раздвижению пластин до расстояния в двух случаях: 1) конденсатор перед раздвижением пластин отключен от источника; 2) конденсатор в процессе раздвижения пластин все время соединен с источником.

Дано:  ; ; ;

.

Найти: , .

Решение. 1-й случай. Систему двух заряженных и отключенных от источника тока пластин можно рассматривать как изолированную систему, к которой справедлив закон сохранения энергии. В этом случае работа внешних сил равна изменению энергии системы:

, (1)

где – энергия поля конденсатора до раздвижения пластин, – энергия поля конденсатора после раздвижения пластин.

Энергию в данном случае удобно выразить через заряд на пластинах, так как заряд пластин, отключенных от источника при их раздвижении не меняется:

; , (2)

где ; – емкость конденсатора соответственно после раздвижения пластин и до раздвижения (среда вакуум ).

Выразим заряд через ЭДС  источника тока и начальную электроемкость :

. (3)

Подставив в равенство (1) выражения энергий (2), выражения емкостей конденсатора, заряд (3), получаем:

.

После сокращения на формула для расчета работы примет вид:

.

Выполним вычисления:

.

2-ой случай. Пластины остаются подключенными к источнику тока и система двух пластин уже не является изолированной (заряд пластин при их раздвижении перемещается к клеммам батареи). Поэтому воспользоваться законом сохранения энергии в этом случае нельзя.

При раздвижении пластин конденсатора разность их потенциалов остается неизменной , емкость будет уменьшаться , уменьшается заряд на пластинах и напряженность поля конденсатора . Так как величины и , необходимые для определения работы, изменяются, то работу следует вычислять путем интегрирования.

Элементарно малая работа силы, действующей на пластину конденсатора при перемещении ее на относительно другой пластины:

(4)

где – напряженность поля, созданного зарядом одной пластины

; – заряд пластины .

Выразим напряженность поля и заряд через расстояние между пластинами:

; .

Подставив эти выражения и в равенство (4), получим:

.

Проинтегрировав это равенство в пределах от до , найдем выражение искомой работы:

.

Выполним вычисления:

Ответ: ; .

Пример 7. Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью . Расстояние между пластинами , разность потенциалов . Найти отклонение электрона, вызванное полем конденсатора, если длина его пластины .

Дано: ; ; ; .

Найти:

Решение. На электрон, влетевший в электрическое поле со стороны поля действует сила

,

г де – напряженность поля в конденсаторе, – модуль величины заряда электрона .

Поскольку напряженность электрического поля направлена вверх (рис. 10), сила, действующая на электрон, направлена вниз. Движение электрона можно рассматривать как суперпозицию двух независимых движений, происходящих в горизонтальном и вертикальном направлениях. В горизонтальном направлении электрон по-прежнему будет двигаться равномерно, так как в этом направлении на него не действуют никакие силы. Одновременно с этим под действием электрической силы он равноускоренно перемещается вниз. Траектория движения будет парабола. Это движение электрона в конденсаторе подобно движению тела, брошенного горизонтально. За время движения в конденсаторе электрон пролетит по горизонтали расстояние

, (1)

а по вертикали переместится вниз на расстояние

, (2)

где – ускорение движения.

Решая совместно уравнения (1) и (2), находим

. (3)

Чтобы определить ускорение, применим второй закон Ньютона. Так как на электрон в вертикальном направлении действует только одна сила (силой тяжести, действующей на электрон, пренебрегаем ) то ,

или

,

откуда ускорение в вертикальном направлении

. (4)

Подставляя выражение (4) в (3), получаем

.

Выполним вычисления:

.

Ответ: .

Пример 8. Диполь с электрическим моментом находится в однородном электрическом поле напряженностью . Вектор составляет угол с направлением линии напряженности поля. Определить произведенную внешними силами работу поворота диполя на угол .

Дано: ; ; ; .

Н айти: , .

Решение. Из исходного положения (рис. 11) диполь поворачиваем на угол по часовой стрелке до угла или против часовой стрелки до угла .

В первом случае диполь поворачивается под действием сил поля. Следовательно, работа внешних сил при этом отрицательная. Во втором случае поворот может быть произведен только под действием внешних сил, следовательно, работа внешних сил при этом положительна.

I способ. Элементарная работа при повороте диполя на угол

,

где – модуль механического момента, действующего на диполь в электрическом поле.

Учитывая, что , получаем:

,

и полная работа при повороте на угол от до :

.

Произведя интегрирование, получаем

. (1)

II способ. Работа внешних сил связана с изменением энергии диполя во внешнем электрическом поле

.

Так как энергия диполя ,

то

,

что совпадает с формулой (1).

Выполним вычисления:

работа внешних сил при повороте диполя по часовой стрелке:

,

против часовой стрелки

.

Ответ: ; .

Пример 9. Между обкладками плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов , зажата парафиновая пластинка толщиной . Определить поверхностную плотность связанных зарядов на парафине и поверхностную плотность свободных зарядов на обкладках конденсатора.

Дано: ; ; .

Найти: , .

Решение. Величину выразим через напряженность поля внутри конденсатора. Поскольку введение диэлектрика между его обкладками уменьшает эту напряженность поля в раз, то величины и можно связать с формулой .

Учитывая, что , где – расстояние между обкладками конденсатора, найдем:

. (1)

Чтобы определить величину , воспользуемся формулой . Так как вектор параллелен вектору напряженности поля в диэлектрике (рис. 12) и направлен по нормали к поверхности парафиновой пластинке, то . Поэтому, учитывая соотношения

и ,

получим:

. (2)

Выполним вычисления и по формулам (1) и (2):

.

Ответ: ; .

Пример 10. Два источника тока с ЭДС В, и внутренними сопротивлениями Ом, Ом соединены как показано на рисунке 13. Определить:

а) разность потенциалов между точками А и B;

б) выяснить условие, при котором

Дано: В; В; Ом; Ом.

Найти: а) б) условие, когда ?

Решение. Выберем направление тока по часовой стрелке (рис. 13).

Разобьем контур на два участка и . Запишем для каждого участка закон Ома:

, (1)

. (2)

Приравняем правые части уравнений (1) и (2)

.

Тогда

. (3)

Решая уравнение (3), выразим :

;

.

Выполним вычисления

В.

Если , то выражение (3) примет вид:

или

.

О твет: а) В; б)

Пример 11. Три источника тока с ЭДС В, В, В и внутренними сопротивлениями Ом и три реостата с сопротивлениями Ом, Ом, Ом соединены, как показано на рисунке 14. Определить силу тока в реостатах.

Дано: В; В; В; Ом; Ом; Ом; Ом.

Найти:

Решение. Силы токов в разветвленной цепи можно определить с помощью правил Кирхгофа. Для этого следует составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин. Перед составлением уравнений необходимо:

а) выбрать произвольно направления токов на всех участках цепи;

б) выбрать направления обхода контуров.

Направления токов на рисунке 14 указаны стрелками, направления обхода контуров выбраны по часовой стрелке.

Воспользуемся первым правилом Кирхгофа, учитывая, что ток, подходящий к узлу, входит в уравнение со знаком “+”, а ток, отходящий из узла – со знаком “–” .

Для узла А

,

или

При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа учитываем следующие правила знаков:

1) если ток по направлению совпадает с выбранным направлением обхода контуров, то соответствующее произведение входит в уравнение со знаком “плюс”, иначе – со знаком “минус”;

2) если при обходе контура приходится идти от “–” к “+” внутри источника тока, то соответствующая входит в уравнение со знаком “плюс”, иначе – со знаком “минус”.

Для контуров:

1. ACDBА:

; (1)

2) CDFEС:

. (2)

Подставив значения в соотношения (1) и (2), получим систему уравнений:

.

Решим эту систему с помощью определителей. Для этого запишем её в виде:

Искомые токи найдем по формулам:

; ;

Найдем определители :

Тогда

А; А; А.

Знак “минус” у тока говорит о том, что направление тока на рисун- ке 14 было указано противоположно истинному, т.е. ток идет от узла B к узлу A.

Ответ: ; ; .

Пример 12. Сила тока в проводнике сопротивлением равномерно растет от до за время . Определить выделившееся в проводнике за это время количество теплоты.

Дано: , , , .

Найти: .

Решение. Согласно закону Джоуля-Ленца для бесконечно малого промежутка времени:

.

По условию задачи сила тока равномерно растет, т.е. , где – коэффициент пропорциональности:

.

Тогда можно записать:

(1)

Проинтегрировав (1) и подставив выражение для , найдем искомое количество теплоты:

.

Выполним вычисления:

.

Ответ: .