Контрольные вопросы

2.1. Как составить план-матрицу полного факторного эксперимента?

2.2. Как рассчитать число опытов, необходимых для реализации полного факторного эксперимента (ПФЭ)?

2.3. Как определить уровни у качественных факторов?

2.4. Что такое ортогональный план?

2.5. Какими свойствами обладает ПФЭ?

2.6. Что такое эффекты взаимодействия разных порядков? Как их рассчитать?

2.7. Как интерпретировать полученные в ПФЭ коэффициенты?

2.8. Как рассчитать коэффициенты уравнения регрессии по полученным экспериментальным данным?

2.9. Для и как производится кодирование факторов?

2.10. Почему при большом числе факторов не используются планы полного факторного эксперимента?

2.11. Что такое граница области определения фактора?

2.12. Какие планы отвечают условию ротатабельности?

2.13. Как выбрать основной уровень фактора?

2.14. Как выбрать интервал варьирования?

2.15. Что такое полный факторный эксперимент?

2.16. Как вводится буквенное обозначение строк?

2.17. Каковы основные этапы проведения и обработки результатов полного факторного эксперимента?

2.18. Что такое план эксперимента, матрица планирования?

Краткие ответы

2.1. Составление план-матрицы эксперимента осуществляется следующим образом: например, для верхний и нижний уровни факторов (+1, -1) чередуются в каждом опыте, для - через два опыта, для - через четыре; для - через восемь и т.д. по степеням двойки.

2.2. Одной из важнейших характеристик плана, влияющей, с одной стороны, на стоимость и длительность исследования, а с другой, - на точность результатов, является число экспериментов. Число опытов в полном факторном эксперименте (N) зависит от числа уровней (p) и числа исследуемых факторов (к): N = . Необходимо учитывать, что план с минимально возможным числом экспериментов N = к + 1 (насыщенный план) не позволяет проверить адекватность модели. Поэтому обычно выбирают N > k + 1, где k + 1 - число оцениваемых параметров модели.

2.3. Для качественных факторов, имеющих два уровня, один уровень обозначается - (+1), а другой - (-1); порядок уровней не имеет зна­чения. Например, продольное направление нитей в ткани можно обозначить как +1, а поперечное как -1.

2.4. Использование критерия ортогональности имеет целью упрощение вычислений и получение независимых оценок коэффициентов. Это значит, например, что замена нулем любого коэффициента в уравнении модели не изменит значений оценок остальных коэффициентов. Такое свойство ортогональных планов оказывается очень полезным, когда точный вид модели неизвестен и исследователь использует экспериментальные данные для отбора переменных, существенно влияющих на выходную величину.

2.5. Матрицы полного факторного эксперимента обладают свойствами симметричности, нормировки, ортогональности и ротатабельности.

Первое свойство - симметричность относительно центра эксперимента обозначает, что алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю:

где N - число опытов; i - номер фактора.

Второе свойство (условие нормировки) - сумма квадратов элементом каждого столбца равна числу опытов, или

Третье свойство относится к совокупности столбцов. Сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю, или

Это свойство называется ортогональностью матрицы планирования.

Последнее, четвертое, свойство называется ротатабельностью. Оно означает, что все точки в матрице планирования подбираются так, чтобы точность предсказания значений параметра оптимизации была одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависела от направления.

2.6. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценивать эффекты взаимодействия. Для этого надо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения двух факторов. При вычислении коэффициента, соответствующего эффекту взаимодействия, с новым вектор-столбцом можно обращаться так же, как с вектор-столбцом любого фактора. При добавлении столбцов эффектов взаимодействий все свойства матриц планирования сохраняются. Эффект взаимодействия двух факторов, например , называется эффектом взаимодействия первого порядка или парным эффектом взаимодействия. Взаимодействие - тройное или второго порядка и т.д.

2.7. Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния факторов. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффициент имеет знак плюс, то с ростом значения фактора параметр оптимизации увеличивается, а если минус, то уменьшается. Величина коэффициента соответствует вкладу данного фактора в величину параметра оптимизации при переходе фактора с нулевого, уровня на верхний или нижний.

Иногда удобно оценивать вклад фактора при переходе от нижнего к верхнему уровню. Вклад, определенный таким образом, называется эффектом фактора (иногда его называют основным, или главным эффектом). Он численно равен удвоенному коэффициенту. Для качественных факторов, варьируемых на двух уровнях, основной уровень не имеет физического смысла. Поэтому понятие «эффект фактора» является здесь естественным.

2.8. Любой коэффициент уравнения регрессии , является скалярным произведением столбца у на соответствующий столбец ,деленным на число опытов в матрице планирования N:

Аналогично рассчитываются коэффициенты взаимодействия :

2.9. Кодирование факторов необходимо для перевода натуральных факторов (имеющих каждый свою размерность) в безразмерные величи­ны, чтобы была возможность построить стандартную ортогональную план-матрицу эксперимента. Для перевода натуральных переменных z в кодовые x необходимо знать центр фактора (нулевой уровень) и интервалы его варьирования. В качестве нулевого уровня факторов обычно выбирают центр области, в которой предполагается вести эксперимент. В промышленных условиях нулевой уровень соответствует значениям факторов при существующем технологическом режиме.

Кодирование факторов и обратное преобразование осуществляют по формулам

где _, - натуральное и кодированное значение фактора; - значение фактора на основном уровне; - натуральное значение интервала варьирования.

2.10. При сопоставлении планов полного факторного эксперимента для различного числа факторов k включение каждого нового фактора приводит к удвоению числа опытов в плане: при k = 6 число опытов N = 64, при k = 7 - N = 128 и т.д. Реализация таких планов становится трудной, дорогостоящей и требующей больших затрат времени. Эффективность полного факторного эксперимента заметно снижается. При большом числе факторов рекомендуется переходить к дробному факторному эксперименту.

2.11. При выборе области эксперимента прежде всего надо оценить границы областей определения факторов. При этом должны учиты­ваться ограничения нескольких типов. Первый тип - принципиальные ограничения для значений факторов, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах. Например, если фактор - температура, то нижним пределом будет абсолютный нуль. Второй тип - ограничения, связанные с технико-экономическими показателям, например, со стоимостью сырья, дефицитностью отдельных компонентов, временем ведения процесса. Третий тип ограничений, с которым чаще всего приходится иметь дело, определяется конкретными условиями проведения процесса, например, существующей аппаратурой, технологией, организацией. В реакторе, изготовленном из некоторого материала, температуру нельзя поднять выше температуры плавления этого материала или выше рабочей температуры данного катализатора.

В выбранной области определения надо найти локальную подобласть для планирования эксперимента. Процедура выбора этой подобласти включает два этапа: выбор основного уровня и выбор интервалов варьирования.

2.12. Критерий ротатабельности требует такого расположения экспериментальных точек в области планирования, при котором дисперсия оценки значений зависимой переменной определяется только расстоянием от этой точки до центра плана.

2.13. Наилучшим условиям, определенным при анализе априорной информации, соответствует комбинация (или несколько комбинаций) уровней факторов. Каждая комбинация является многомерной точкой в факторном пространстве. Ее можно рассматривать как исходную точку для построения плана эксперимента. Назовем ее основным (нулевым) уровнем. Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нулевого уровня.

Если имеются сведения о координатах одной наилучшей точки и нет информации о границах определения факторов, то остается рассматривать эту точку в качестве основного уровня. Аналогичное решение принимается, если границы известны и наилучшие условия лежат внутри области.

Если эта точка лежит на границе (или весьма близко к границе) области, тогда приходится основной уровень выбирать с некоторым сдвигом от наилучших условий. Когда координаты наилучшей точки неизвестны, тогда основной уровень выбирается либо в центре, либо в случайной точке этой подобласти.

2.14. При построении линейной модели для каждого фактора не­обходимо выбрать два уровня, на которых он будет варьироваться в эксперименте.

Один из этих уровней - верхний, а второй - нижний. Обычно за верхний уровень принимается тот, который соответствует большему значению фактора, хотя это не обязательно, а для качественных факторов вообще безразлично. Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание - нижний уровни фактора. Другими словами, интервал варьирования - это расстояние на координатной оси между основным и верхним (или нижним) уровнем. Верхний уровень фактора в кодированном масштабе соответствует (+1), нижний - (-1), основной уровень фактора- (0).

При выборе интервала варьирования необходимо учитывать, что, с одной стороны, он должен быть достаточно мал для получения линейного уравнения, с другой, - достаточно велик, чтобы не получить ошибочного вывода о незначимом влиянии какого-либо из факторов.

2.15. Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется такой эксперимент, при реализации которого определяется значение параметра оптимизации при всех возможных сочетаниях уровней варьирования факторов.

Если мы имеем дело с k факторами, каждый из которых может устанавливаться на p уровнях, то для того, чтобы осуществить полный факторный эксперимент, необходимо поставить минимум N = опытов.

2.16. План факторного эксперимента может быть записан в более компактной форме, если каждому фактору по порядку присвоить букву латинского алфавита и вместо каждой строки в матрице выписывать только те факторы, которые находятся на верхнем уровне, а строку, в которой все факторы находятся на нижнем уровне, обозначить через (1) или (-1). Так, опыт, где второй и третий факторы на верхнем уровне, будет обозначаться bc, где все три фактора на верхнем уровне, - abc.

2.17. Планирование, проведение и обработка результатов ПФЭ состоит из следующих обязательных этапов: кодирование факторов; составление план-матрицы эксперимента; рандомизация опытов; реализация плана эксперимента; проверка воспроизводимости опытов; проверка адекватности линейной модели; оценка значимости коэффициентов регрессии.

2.18. Множество всех точек проведения экспериментов представляется с помощью матрицы плана

…

… (i=1,2,…,k)

X= … (u=1, 2,…, N)

… … …

…

и называется планом эксперимента.