Виды параметров оптимизации:

Все возможные параметры которые характеризуют объект в зависимости от того какие они аспекты определяют, можно классифицировать на экономические, Технико-экономические, технологические, эргономические, эстетические и т.п. Примеры параметров оптимизации:

- к экономическим параметрам можно отнести: прибыль, рентабельность, себестоимость, суммарные затраты и др.

- технико-экономические: дифференциальные и интегральные показатели качества.

- технологические: физико-химические, физико-механические, технические, точностные и т.д.

Требования к параметрам оптимизации:

1) быть количественным и задаваться одним числом;

2) быть универсальным, то есть всесторонне характеризовать объект исследования.

3) должен иметь физический смысл.

4) существовать для всех состояний исследуемого объекта или для всех стадий проведения эксперимента.

19. Линейная аппроксимация (крутое восхождение по поверхности отклика).

При поиске оптимума в процессе экстремальных исследований применяют разнообразные методы. Их можно подразделить на следующие группы:

- градиентные методы;

- безградиентные методы и др.

В научных исследованиях чаще всего используют градиентный метод наискорейшего спуска (крутого восхождения), а так же безградиентный метод последовательного симплекс – планирования. Выбор того или иного метода при поиске оптимальных решений зависит от особенностей решаемой задачи. Мы будем рассматривать градиентный метод.

Метод наискорейшего спуска связан с определением минимума функции, а метод крутого восхождения с определением максимума функции.

Градиент – вектор, который показывает направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой.

Градиент непрерывной однозначной функции - вектор.

,

где - градиент;

- частная производная функции по i – фактору;

i, j, k – единичные векторы в направлении координат осей.

Согласно теории Тейлора о разложении аналитической функции в ряд, частные производные функции по факторам равны по величине и знаку, соответствующим коэффициентам регрессии. Исходя из этого градиент функции отклика у есть вектор.

.

Движение по градиенту обеспечивает наиболее короткий путь к оптимуму, так как направление градиента представляет собой направление самого крутого склона, ведущего от данной точки к вершине. Если изменить факторы пропорционально их коэффициентам с учетом знака, то движение к оптимуму будет осуществляться по самому крутому пути. Данный процесс движения называется, крутым восхождением (если необходим максимум функции) или крутым спуском (если необходим минимум функции). Расчет крутого восхождения рассмотрим на примере задачи с одним фактором.

1 – график неизвестной функции – отклика.

2 – прямая y=b₀+b₁x₁ или направленные градиенты.

В результате реализации плана эксперимента с центром в точке 0 получено уравнение регрессии y=b₀+b₁x₁, которое адекватно описывает функцию отклика в области (-1,+1).Значение коэффициента регрессии b₁=tg угла наклона между линией регрессии и осью данного фактора.

Если шаг движения по оси x₁ принять равным , то умножив его на b₁, получим координаты точки А на линии регрессии (на градиенте). После второго шага расстояние по оси x₁ будет 2 . Умножив 2 на b₁ получим координаты точки В на градиенте и т.д. Затем проводят опыты с условиями, отвечающими точкам на градиенте. По результатам этих опытов определяют область оптимума. В практических задачах для сокращения объема эксперимента проводят не все опыты, а часть предусмотренных крутым восхождением. Условия опытов выбирают так, чтобы область оптимума можно было заключить в «вилку». Далее проводят опыты в точках интервала, заключенных в «вилку», для нахождения наилучшего результата. Мы рассмотрели пример с одним фактором х₁. Если факторов много (х₁, х₂, х₃…х_n), расчет крутого восхождения по оси каждого фактора производят аналогично. При этом движение по осям всех факторов осуществляется одновременно. Шаг движения по градиенту выбирается таким, чтобы его min величина была больше ошибки, с которой фиксируют фактор (если шаг будет слишком маленький, то потребляется проведения большого числа опытов, а если шаг будет слишком большим, то можно проскочить область оптимума). Шаг движения выбирается для одного фактора, а для остальных он рассматривается по формуле:

- выбранный шаг движения по градиенту, для фактора L.

- шаг движения по градиенту, для i – фактора.

- коэффициенты регрессии для факторов i и L.

- интервалы варьирования i и L факторов.

Движение по градиенту начинают с нулевой точки (или с основного уровня каждого фактора). Рассчитав шаг движения по каждому фактору, находят условия «мысленных» опытов.

«Мысленный» опыт – опыт, условия проведения которого установлены с учетом шага движения каждого фактора на стадии крутого восхождения в область оптимуму. С целью проверки результатов крутого восхождения, часть мысленных опытов реализуется. Крутое восхождение прекращают, если найдены условия оптимизации или если ограничения на факторы делают дальнейшее движение по градиенту неразумным.