2. Вычисление длины дуги плоской кривой.

а) Если кривая на отрезке -гладкая (т.е. производная непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой вычисляется по формуле:

или

(если х есть функция переменной у)

y

y

х х

2. Если кривая задана параметрическими уравнениями , ( и -непрерывно дифференцируемые функции), то длина дуги этой кривой, соответствующая монотонному изменению параметра от до вычисляется по формуле:

2. Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением ,то длина дуги равна:

.

Пример 34. Найти длину дуги кривой от до .

Решение:

3. Объем тела вращения.

Объём тела, образованного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью ОХ и прямыми вокруг оси ОХ, вычисляется по формуле:

или

(если вокруг оси ОУ)

Пример 35. Найти объем тела, образованного вращением вокруг

оси OY фигуры, ограниченной , x=0, y=4 .

Решение:

4. Площадь поверхности вращения.

а) Если дуга гладкой кривой вращается вокруг

оси ОХ, то площадь поверхности вращения вычисляется по

формуле:

2. Если кривая задана параметрическими уравнениями , то

.

с) Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением ,то

.

Пример 36. Найти площадь поверхности шара , образованного вращением вокруг оси ОХ окружности .

Решение:

Пример 37. Найти площадь поверхности, образованной вращением

вокруг оси OX арки циклоиды

, , .

Решение:

.

Замечание: кратко геометрические приложения определённого интеграла приведены в Приложении 3 в виде таблицы.