Упражнения

1. Проиллюстрировать на содержательном примере неком- мутативность операции разности множеств: А\ В В\А.

Для множеств А, В, С Í U из примера 1 определить со­держательный смысл следующих множеств:

а ) АÇ (В\С);	б) (А Ç В) \ С;
в) А \ В	г ) В\ ;
д) (А Ç В) È С;	е) А Ç (В È С).

3. Осуществить операции над множествами А,В Í U, если:

4. Осуществить операции над множествами А = {2, 4, 6,8},

В = {3,6,9}, если U = {1,2, 3,..., 10}.

5. Пусть А = {1,2}, В = {2,3}, С = {1,3}.

Найти:

а) АÈ В È С;	б) А Ç В Ç С;
в ) A\(BÈ С);	г )(А\В) ÈС;
д) (А È В) \ (АÇ В).

6. Указать, какие из следующих утверждений справедливы:

а) 0 Î  ;	б) Æ = {0};
в) |{0}| = 0;	г) | Æ | = 0?

7. Пусть

U= {а, b, с, d}, X= {а, с}, Y= {а, b, d) Z= {b, с}.

Найти множества:

а)ХÇ	б ) (X Ç Z) È	в) XÈ (YÇ Z
г) (XÈY) Ç(XÈZ)	д) XÈY;	e) Ç ;
ж)	3)(XÈY) È Z;	и)XÈ (YÈZ)
к )X\Z;	k)(X\Z) È (Y\Z).

8. Пусть U= {1,2,3,4, 5,6}; А = {1,2,3}; В ={1,3,5,6};

С ={4, 5,6}. Найти множества:

а ) А\С	б ) В\С;	в) С\В;	г) А\В;
д) È В;	е) ВÇ А;	ж)АÇ С	з) (СÈ А)\(С Ç А).

9. Даны два произвольных множества А и В такие, что А Ç В = . Что представляют собой А\В и В\А?

10. Даны два произвольных множества С и D такие, что СÇ ?

11. Дано произвольное множество X. Найти множества:

а) ХÇ

б) X È

в) X\

.

§ 1.3. Диаграммы Венна

Диаграммы Венна - геометрические представления мно­жеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его - кругов (или каких-нибудь дру­гих замкнутых фигур), представляющих множества. Фигу­ры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуе­мом в задаче, и должны быть соответствующим образом обо­значены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответ­ствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Приведенные на рис. 1.2 - 1.5 иллюстрации операций объединения, пересечения, разности и дополнения двух мно­жеств являются диаграммами Венна.

Пример 1. Представить множество A È (ВÇ ) диаграммой Венна.

Решение

Начнем с общей диаграммы, показанной на рис. 1.6,а.

Заштрихуем множество В диагональными линиями в одном направ­лении, множество С - в другом (рис. 1.6, б). Площадь с двойной штри­ховкой это пересечение множеств, т.е. множество В Ç .

Выделим это множество жирной линией.

На новой копии диаграммы заштрихуем эту область

В Ç линиями од­ного направления, а А- другого. Вся заштрихованная на рис. 1.6,в область представляет объединение множеств, A и В Ç ,

т.е. множество A È (B Ç ). Обведем искомую область так­же жирной линией.

Пример 2. Проиллюстрировать на конкретных множествах и с помощью диаграммы Венна справедливость соотношения

А Ç (B È С) = (А Ç В) È (А Ç С)

б)

Рис. 1.6

в)

Решение

Пусть U= {а, b, с, d_} е}.

А = {а, b}, В = {а, с, d}, C= {b, с, d, е}.

Тогда левая часть равенства

А Ç (В È С) =

= {a, b} Ç ({а, с, d} È {b, с, d, е}) =

= {а, b} Ç {а, b, с, d, е} =

= {а, b};

правая часть равенства

(АÇВ) È (А Ç С) =

=({а,b} Ç {а,с,d})È ({a,b} Ç {b,c,d, е}) =

= {а} È {b} =

= {а, b}.

Вывод: Таким образом, левая и правая части соотношения совпа­дают, т.е. равенство подтверждено.

Построим диаграммы Венна.

Левая часть равен­ства представлена на рис. 1.7,а,

правая - на рис. 1.7,б.

Из диаграмм очевидно равенство левой и правой частей иллю­стрируемого соотношения.

А Ç В

А ÇС

Рис. 1.7

(АÇ В) È (АÇС)