1.3Теорема о делении целых чисел

Теорема о делении с остатком.

Для любого целого числа а и натурального числа b существует единственная пара чисел q и r таких, что a=bq+r, где q- целое, r- натуральное или нуль, причём 0≤ r<b.<br />Говорят: а при делении на b даёт остаток r.

Например: 48 при делении на 5 даёт остаток 3, т.к. 48=5⋅9+3, 0≤ 3<5, -48 при делении на 5 даёт остаток 2, т.к. -48=5⋅(-10)+2, 0≤ 2<5.

Заметим,что если число а делится на b, то r=0. Говорят: а при делении на b даёт остаток 0.

При делении целых чисел на какое-то заданное число b может получиться не более b остатков.

Так, при делении на 3 могут получиться остатки 0,1и 2, поэтому любое целое число может быть представлено в одном из следующих видов: 3k, 3k+1, 3k+2 (k-целое), при делении на 4 могут получиться остатки 0,1,2 и 3, поэтому любое целое число

может быть представлено в одном из следующих видов: 3k, 3k+1, 3k+2, 3k+3 (k∈Z).

В первом случае множество целых чисел разбивается на три, во втором — на четыре, а в общем случае — на b подмножеств, не содержащих общих элементов.

Г оворят: по отношению к делимости на b множество целых чисел разбивается на b непересекающихся классов.

Сравнение[1] по модулю натурального числа n — в теории чисел отношение эквивалентности на кольце целых чисел, связанное с делимостью на n. Факторкольцо по этому отношению называется кольцом вычетов. Совокупность соответствующих тождеств и алгоритмов образует модульную[2] (или модулярную) арифметику.

1 .5

Т ема 2. Алгебра матриц. Матриц Кольцо. полное кольцо матриц,- кольцо всех квадратных матриц фиксированного порядка над кольцом R. Кольцо -матриц над R обозначается Rn или Mn(R). Всюду ниже R- ассоциативное кольцо с единицей 1. Кольцо Rn изоморфно кольцу End Mвсех эндоморфизмов свободного правого R-модуля М, обладающего га-элементным базисом. Матрица - единица в Rn. Ассоциативное кольцо А с единицей 1 тогда и только тогда изоморфно Rn, когда в Аесть множество из n2 элементов подчиненное следующим условиям:1)2) централизатор множества элементов е ij в Аизоморфен кольцу R. Центр кольца Rn совпадает с Z(R)En, где Z(R)- центр R;при n>1 кольцо Rn некоммутативно. Мультипликативная группа кольца Rn (группа всех обратимых элементов) наз. полной линейной группой и обозначается GL(n, R). Матрица из Rn обратима в Rn тогда и только тогда, когда ее столбцы составляют базис свободного правого модуля всех -матриц над R. Если R коммутативно, то обратимость матрицы ав Rn равносильна обратимости ее определителя det ав R. Имеет место равенство Кольцо Rn тогда и только тогда просто, когда просто R , ибо двусторонние идеалы в Rn имеют вид к n , где к- двусторонний идеал в R. Артиново кольцо тогда и только тогда просто, когда оно изоморфно М. к. над телом (теорема Веддерберна - Артина). где J(R) - радикал Джекобсона кольца R. Следовательно, для полупростого кольца R М. к. над R также полупросто. Если R регулярно (т. е. для любого в R есть такое b, что аbа=а), то и Rn регулярно. Если R - кольцо с инвариантным базисным числом, т. е. число базисных элементов каждого свободного R-модуля не зависит от выбора базиса, то Rn также кольцо с инвариантным базисным числом. Кольца R и Rn эквивалентны в смысле Мориты (см. Мориты эквивалентность): категория R-модулей эквивалентна категории Rn -модулей. Однако из того, что проективные R-модули свободны, еще не следует, что будут свободны и проективные Rn -модули. Так, если R- поле, а n>1, то существуют несвободные конечно порожденные проективные Rn -модули.