11. Що можна сказати про відношення між множинами a, b, c, представленими кругами Ейлера? Запишіть за допомогою операцій над множинами вирази для множин відповідних заштрихованих областей:
a) б) с)
12. За допомогою кругів Ейлера покажіть, що:
а) A B A B;
б) A + A = ;
в) якщо A B = С, то C A і C B;
г) (M\N) (N\M) = .
13. За допомогою кругів Ейлера покажіть, що:
а) (A B) (A B C);
б) (A B C) (A B).
14. Виходячи з відношення належності, доведіть справедливість наступних виразів:
а) A (B\A) = A B;
б) A (B\A) = .
15. Задайте у вигляді X = {x | P(x)} такі множини:
а) множину натуральних чисел, більших за 100;
б) множину парних додатних чисел;
в) множину натуральних чисел, кратних 10.
16. Запишіть елементи множин:
а) {x | x N, 3 x 12};
б) {x | x — десяткова цифра}.
Завдання для самостійної роботи
1. Скільки елементів містять такі множини:
а) {x};
б) {{x}};
в) {x, {x}};
г) {{x}, x, {{x, {x}}}?
2. Які з наведених тверджень правильні? Доведіть.
а) якщо A B і B C, то A C;
б) якщо A B і B A, то A = B;
в) якщо A B і B C, то A C.
3. Дана множина D = {7, 13, 25, 34, 101, 112}. Які з наведених множин є підмножинами множини D:
а) {1, 7, 13};
б) {0, 1, 12};
в) {25, 112, 34};
г) {a, b, c, n};
д) {7, 13, 25, 34, 101, 112};
е) ?
4. Визначте, які з наведених множин дорівнюють одна одній:
а) A = {x | існує y такий, що x = 2y, y N};
б) C = {1, 2, 3};
в) D = {0, 2, -2, 3, -3, 4, -4, …};
г) E = {2x | x Z}.
5. Побудуйте 2А для множини А, якщо:
а) A = {{}};
б) A = {1, 2, 3, 4};
в) A = {день, ніч};
г) A = {1, {2, 3}, 4}.
6. Скільки підмножин містить:
а) множина днів тижня;
б) множина місяців року?
7. Утворіть множину святкових днів року. Чи перетинається ця множина із множиною вихідних днів цього ж року?
8. Зобразіть такі множини у вигляді кругів Ейлера:
а) A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3, 4, 5};
б) A = {a, b, c, d, e}, B = {d, a, e};
в) N — натуральні числа, Z — цілі числа, R — дійсні числа;
г) X — множина птахів, Y — множина звірів, Z — множина ссавців, F — множина кроликів, G — множина живих організмів, які живуть у морях і океанах.
9. Для множин A= {1, 2, 3, 4, 5}, B= {0, 3, 6} знайдіть:
а) A B;
б) A B;
в) A\B;
г) B\A.
10.
За допомогою діаграм Венна доведіть,
що
A\B
= A
.
11. Знайдіть множини A і B, якщо A\B = {1, 5, 7, 8}, B\A = {2, 10},
B A = {3, 6, 9}.
12. Які висновки можна зробити про множини A і B, якщо правильна одна з таких рівностей:
а) A B = A;
б) A B = A;
в) A\B = B\A;
г) A\B = A?
Лабораторна робота № 2
Алгебра множин
Множина 2U усіх підмножин універсальної множини U із заданими на ній чотирма операціями складає алгебру множин та позначається cr. Клас множин cr називається алгеброю множин, якщо:
U cr.
З A, B cr виходить A B cr.
З A, B cr виходить A\B cr.
Алгебра множин cr широко застосовується у програмуванні, зокрема під час роботи з різноманітними базами даних, і становить основу для побудови багатьох математичних структур. За допомогою операцій над множинами створюються складні алгебраїчні вирази. Відносно одна одної операції мають такий пріоритет:
1.
; 3.
A
B;
2. A B; 4. A\B.
В алгебрі множин cr автоматично виконують такі тотожності, які дозволяють віднести cr до класу так званих булевих алгебр.
1. Комутативний закон для об’єднання й перетину множин.
А В = В А; А В = В А.
2. Асоціативний закон для обєднання й перетину множин
А (В С) = (А В) С; А (В С) = (А В) С.
3. Дистрибутивний закон для обєднання та перетину множин
А (В С) = (А В) (А С); А (В С) = (А В)(А С).
4. Властивості пустої множини й універсума відносно об’єднання
А = А; А U = U;
А
=
U; 
= U.
5. Властивості пустої множини й універсума відносно перетину
А U = A; А = ;
А
=
; 
=.
6. Закон ідемпотентності для об’єднання та перетину множин
А А = А; А А = А.
7. Закон поглинання
А ( А В) = А; А ( А В) = А.
8. Закони де Моргана
; 
.
Наступні властивості:
Якщо А В = U і А В =, то В=
.
=U
\ А.
=А.А \ В = А В.
А+В = (А
)(
В).А+В = В+А.
А+В+С = А +(В+С).
А+ = +А = А.
А В, тоді і тільки тоді, якщо А В = А або А В = В, або А = .
А = В, тоді і тільки тоді, якщо (А )( В) = .
Приклади задач
1. Довести, що А А = А.
Розв’язок
А А =(А А) U = (А А) (А ) = А ( А ) = А = А.
2. Довести, що А (В С) = (А В) (А С).
Розв’язок
Припустимо, що xА (В С), тоді xА або x(В С). Якщо xА, то x належить до обєднання А з будь-якою множиною, тобто xА В і xА С , з цього випливає , що x є елементом перетину множин А В і А С, тобто x(А В) (А С).
Якщо xВ С, то xВ і xС, а значить xА В і xА С, тобто x є елементом перетину тих же множин. Таким чином, доведено, що
А (В С)(А В) (А С). Аналогічно доводимо й відношення
А (В С)(А В) (А С). Згідно з визначенням рівності множин маємо потрібну тотожність А (В С) = (А В) (А С).
4.
Спростити вираз
.
Розв’язок
5.
Спростити вираз
Розв’язок
.
Завдання
1. Доведіть за допомогою тотожних перетворень співвідношення:
а) A\(A\B) = B\(B\A);
б) (A
B C)
(
B
C) = B
C;
в) (A
B C
)
(
C)
(
C) (C
X) =
C.
2. Виходячи зі співвідношення належності, доведіть справедливість наступних елементів:
а) A (B\A) = A B;
б) A (B\A) = ;
в) A B = B A;
г) A B = B A;
д) A (B C) = (A B) C;
е) A (B C) = (A B) (A C);
є) A (B C) = (A B) (A C).
3. Доведіть тотожність:
а)
б) A = A.
4. Спростіть вираз:
а) (M\N) (N\M) ;
б)
;
в)
г)
д)
;
е)
.
Завдання для самостійної роботи
1. Доведіть справедливість тотожності:
.
2. Виходячи, що A + B = (A\B) (B\A), доведіть:
а) A + B = B + A;
б) A + ( B + C) = (A + B) + C;
в) A (B + C) = (A B) + (A C);
г) A + =A.
3. У якому відношенні знаходяться множини A і B, якщо A\B = B\A = ?
4. Доведіть за допомогою тотожних перетворень співвідношення. Результат перевірте за допомогою кругів Ейлера:
а) (A\B)\С = (A\C)\(B\C);
б) A
.
Показати справедливість тотожності
.