Послідовність розв’язування задачі

1. Визначаємо невідомий закручуючий момент М₀.

2. Знаходимо крутні моменти М_кр на ділянках вала та будуємо епюру крутних моментів.

3. З умови міцності визначаємо діаметр d круглого вала та діаметри D, d кільцевого вала та порівнюємо їх матеріалоємність.

4. Визначаємо кути закручування окремих ділянок вала круглого перерізу та будуємо епюру кутів повороту перерізів вала відносно лівого перерізу, вважаючи, що у цьому перерізі кут повороту дорівнює нулеві.

5. Перевіряємо вал на жорсткість.

Приклад 3

До вала (рис. 10, а), що рівномірно обертається, прикладені відомі закручуючі моменти , , та невідомий момент . Потрібно: визначити величину моменту ; побудувати епюру крутних моментів М_кр; підібрати з умови міцності діаметр d круглого вала та діаметри D, d (d/D=α=0,6) кільцевого вала і порівняти їх матеріалоємність; знайти кути закручування φ окремих ділянок вала круглого перерізу та побудувати епюру кутів повороту перерізів вала відносно лівого перерізу, якщо модуль пружності матеріалу вала G=80000 МПа; перевірити жорсткість вала, якщо допустимий відносний кут закручування .

Розв’язування

1. Знаходимо значення невідомого моменту з умови рівноваги, вибравши початково для нього довільний напрям, наприклад проти ходу годинникової стрілки:

,

.

З нак « - » вказує, що початково напрям моменту вибрано невірно. Його слід змінити на протилежний і далі знак « - » не враховувати.

Рис. 10

2. Визначаємо крутні моменти на ділянках вала:

За цими даними будуємо епюру М_кр (рис. 10, б).

3. Підбираємо діаметри круглого та кільцевого перерізів вала з умови міцності

.

Звідси

.

З епюри М_кр знаходимо .

Допустиме напруження .

Для круглого перерізу з діаметром d полярний момент опору визначають за залежністю . Тоді

.

Для кільцевого перерізу з діаметрами D, d (d/D =α =0,6 )

.

Тоді

; .

Порівняємо матеріалоємність круглого та кільцевого валів, яка пропорційна площам їх поперечних перерізів. Знаходимо

Обчислюємо відношення Тобто, матеріалоємність круглого вала більша від матеріалоємності кільцевого вала в 1,41 рази.

4. Визначаємо кути закручування ділянок круглого вала (в градусах) за формулою

.

Урахувавши, що: = , та ввівши коефіцієнт , знаходимо

.

Знайдемо кути повороту перерізів вала відносно його лівого кінця:

За цими даними будуємо епюру кутів повороту вала (рис.10,в).

5. Перевіряємо жорсткість вала за умовою жорсткості . Для цього визначаємо відносні кути закручування ділянок вала за формулою

.

, ,

,

.

Умова жорсткості виконується.

Задача 4. Розрахунок на міцність балок при прямому згині Теоретична довідка

1. Під час дії на закріплену балку вертикального навантаження в її опорах виникають опорні реакції . Для їх визначення в балках з шарнірними опорами доцільно використати рівняння статики

,

де через А, В позначені опори балки.

Визначені реакції слід обов’язково перевірити, використавши рівняння

,

де – вертикальна вісь, перпендикулярна до осі балки.

Для балок з защемленим краєм (консольних балок) визначати опорні реакції не обов’язково, оскільки при розв’язуванні задачі можна обійтись без них.

2. Унаслідок дії на балку зовнішнього навантаження в її поперечних перерізах виникають внутрішні сили: поперечна сила Q(x) та згинальний момент М(х). Їх визначають методом перерізів за такими правилами: поперечна сила Q(x) в довільному перерізі балки дорівнює алгебраїчній сумі сил, які розміщені з одного боку від перерізу. Додатними при цьому вважають сили, що направлені угору (коли брати суму лівих сил) , або вниз (коли брати суму правих сил); згинальний момент М(х) у довільному перерізі балки дорівнює алгебраїчній сумі моментів лівих або правих сил відносно центра перерізу. Додатними при цьому вважають моменти, які прогинають балку випуклістю вниз.

Правила знаків для Q(x)та М(х) показані на рис. 11.

Рис. 11

Графіки зміни Q(x) та М(х) по довжині балки називають епюрами Q(x) і М(х).

3. Основні правила для перевірки епюр:

а) якщо в якісь точці балки діє зовнішня сила, то в цій точці епюра Q(x)має розрив, який дорівнює величині цієї сили, а якщо зовнішній момент - розрив має епюра М(х) на величину цього моменту;

б) якщо на ділянці балки немає розподіленого навантаження q, то на цій ділянці Q(x)=const, а М(х) - лінійна функція ;

в) якщо на ділянці балки діє рівномірно розподілене навантаження q, то на цій ділянці Q(x) - лінійна функція, а М(х) – парабола. У даному випадку в тій точці, де Q(x) =0, М(х) = М_max.

4. Умова міцності при згині балки має вигляд

.

Звідси

,

де - момент опору перерізу відносно горизонтальної осі z .

Для деяких основних видів перерізів балок величину визначають за формулами:

а) круглий переріз з діаметром d: ;

б) прямокутний переріз з шириною b і висотою h: ;

в) кільцевий переріз з зовнішнім діаметром D і внутрішнім d:

,

де ;

г) прокатні профілі - двотавр , швелер та інші: величину знаходять за номером профілю з таблиць сортаменту.

5. Матеріалоємність профілів балок (вага одиниці довжини) пропорційна площам поперечних перерізів .