4. Следствия из сингулярного разложения матрицы

Следствие 1.

Доказательство. Имеем

Из сингулярного разложения матрицы вытекает, что

Поэтому делая замену , , получим

Далее

На векторе неравенство превращается в равенство, что заканчивае доказательство следствия 1.

Следствие 2. Если , то для псевдообратной матрицы . Матрица есть диагональная матрица, у которой первые диагональные элементы равны , а остальные равны нулю.

5. Полярное разложение матрицы

Теорема 5. Любую квадратную матрицу можно представить в виде произведения , где - эрмитова матрица с неотрицательными собственными значениями и главными минорами, - унитарная матрица.

Доказательство. Напишем для матрицы сингулярное разложение , где - унитарные матрицы, - диагональная матрица с неотрицательными диагональными элементами. Тогда

Здесь есть эрмитова матрица с неотрицательными собственными значениями, совпадающими с диагональными элементами матрицы . Согласно теореме 1 все главные миноры матрицы неотрицательные. Матрица , как произведение двух унитарных матриц есть матрица унитарная. Теорема доказана.

Разложение в теореме 5 называется полярным разложением матрицы .

Лекция 7 Возмущения слау. Число обусловленности

1. Возмущения единичного оператора

Пусть или , - линейный оператор.

Теорема 1. Если , то оператор - обратим. Обратный оператор можно задать операторным рядом

(1)

Доказательство. Пустъ - частичная сумма ряда (1). Операторный ряд (1) называется сходящимся к оператору , если

(2)

Пространство операторов полное, поэтому сходимость (2) операторного ряда эквивалентна фундаментальности его частичных сумм

Проверим фундаментальность частичных сумм ряда (1)

в силу сходимости геометрической прогрессии со знаменателем меньшим 1.

Итак ряд (1) сходится к некоторому оператору . Нужно показать, что . Для этого достаточно проверить, что Докажем первое равенство:

.

Отсюда поэтому Теорема доказана.

Оценим норму обратного оператора. Имеем

поэтому для нормы обратного оператора справедлива оценка:

.

Аналогичные рассуждения дают и оценку скорости приближения обратного оператора частичными суммами ряда (1)

(3)

1. Возмущения невырожденного оператора. Число обусловленности

Пусть невырожденный оператор и он возмущается оператором . Получается оператор . Когда он также будет невырожденным? Так как , то из теоремы 1 он будет невырожденным, когда . Это заведомо будет выполнено, если . Итак, достаточным условием невырожденности возмущения является условие

(4)

При возмущении оператора на , обратный оператор получит возмущение . Обозначим через

,

Величины относительных возмущений операторов и . Имеем

поэтому из неравенства (3) при

Отсюда

(5)

где

называемое числом обусловленности оператора . Так как

1=

число обусловленности всегда не меньше 1.

Неравенство (5) показывает, что малое относительное возмущение оператора приводит к малому относительному возмущению оператора если число обусловленности оператора не слишком велико в сравнении с 1.