4. Способ итераций

Способ итераций заключается в следующем. Уравнение f( x ) переписывается в виде x = g( x ). После этого выбирают начальное приближение x₁, подставляют его в правую часть уравнения и полученное значение x₂ = g( x₁ ) принимают за второе приближение для корня. Вообще, если найдено приближение x_n, то cледующее приближение x_n+1 определяется по формуле x_n+1 = g( x_n ). Если с заданной степенью точности выполняется равенство x_n+1 = x_n , то x_n и принимают за искомое значение корня.

2. Приближенное интегрирование функций

Задана предельная абсолютная погрешность . Вычислить интеграл функции f( x ) непрерывной на отрезке [a, b] с точностью . В данной задаче вычисление с точностью  означает следующее. Отрезок интегрирования [a, b] разбивается на n равных частей, а функцию f( x ) на рассматриваемом отрезке заменяют интерполирующей или аппроксимирующей функцией g( x ) простого типа и строится сумма S_ni, которая является приближенным значением интеграла. Если | S_ni+1 - S_ni | < , S_ni считается значением интеграла с точностью . (Здесь n_i < n_i+1 ( i = 1, 2, ... )).

1. Формула прямоугольников

Формула прямоугольников для приближенного вычисления определенного интеграла имеет вид

S = h*(y₀ + y₁ + ... + y_n-1),

где h = ( b-a )/n,

x_j = a + j*h ( j = 0, 1, 2, ..., n ),

y_j = f( x_j ).

2. Формула трапеций

Формула трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла имеет вид

S = h/2*( y₀ + 2*( y₁ + y₂ + ... + y_n-1 ) + y_n ),

где h = ( b-a )/n,

x_j = a+ j*h ( j = 0, 1, 2, ..., n ),

y_j = f( x_j ).

3. Формула Симпсона

Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет вид

S = h/3*(( y₀ + y_2*k ) + 4*( y₁ + y₃ + ... + y_2*k-1 ) + 2*( y₂ + y₄ + ... + y_2*k-2 )),

где n - четно ( 2*k ),

h = ( b-a )/n,

x_j = a+ j*h ( j = 0, 1, 2, ..., n ),

y_j = f( x_j ).

3. Задания Написать программу, реализующую итерационные вычислительные процессы, с использованием процедурных типов данных.

Варианты 1, 8, 15, 22. По способу половинного деления решить уравнения:

1. x² = sin(x).

2. x³ = sin(x).

3. x = arcsin((x+1)/4).

Варианты 2, 9, 16, 23. По способу хорд решить уравнения:

1. x³ - 5*x + 1 = 0.

2. x³ - 9* x² + 20*x - 1 = 0.

3. x³ - 3* x² - 3*x + 10 = 0.

Варианты 3, 10, 17, 24. По способу касательных решить уравнения:

1. x⁵ + 5*x + 1 = 0.

2. sin( x ) + x = 1.

3. x² - 10*lg( x ) - 3 = 0

Варианты 4, 11, 18, 25. По способу итераций решить уравнения:

1. x² = ln( x+1 ).

2. ln( x ) = 4 - x².

3. lg( x ) = 0.1*x.

Варианты 5, 12, 19, 26. Вычислить интегралы по формуле прямоугольников:

1. f(x) = 1/( x^(1/3) + 1 ); [0, 1.2].

2. f(x) = ( 4 + x² )^(1/2); [0, 3].

3. f(x) = 1/sqrt( 1-0.25*sin( x ) ); [0, pi/4].

Варианты 6, 13, 20, 27. Вычислить интегралы по формуле трапеций:

1. f(x) = exp( -x )*cos( pi*x/4 ); [0, 2].

2. f(x) = tg( x )^(1/2) ; [0, pi/6];

3. f(x) = (1 + cos( x² )^(1/2) ); [0, pi].

Вариант 7, 14, 21, 28. Вычислить интегралы по формуле Симпсона:

1. f(x) = (x²-5) *(10-x); [0, 10].

2. f(x) = exp(2*x) * sin(2*x² + 1); [0, 1].

3. f(x) = arccos(exp(-(3*x)^(1/3) ); [0.2, 0.56].