3. Консервативні та неконсервативні сили і системи

В макроскопічній механіці всі сили ділять на консервативні і неконсервативні. Якщо сили взаємодії залежать тільки від конфігурації матеріальних точок системи (тобто, від їх координат) і робота цих сил при переміщенні системи з одного положення в інше не залежить від шляху переходу, а визначається лише початковою і кінцевою конфігураціями системи, то такі сили називають консервативними. Прикладами консервативних сил є сила тяжіння і всі центральні сили, до яких належить і сила гравітаційної взаємодії. Сила називається центральною, якщо вона направлена до однієї й тієї ж точки (або від однієї й тієї ж точки) і залежить лише від відстані до цієї точки. Цю точку називають центром сил або силовим центром. Легко показати, що робота в однорідному полі сили тяжіння і робота в полі центральних сил не залежить від шляху переходу.

Нехай м.т. масою m переміщується в гравітаційному полі тіла масою М з точки з радіусом-вектором в точку з радіусом-вектором (див. рис. 7.7). Реальна траєкторія точки зображена на рисунку пунктирною лінією. Замінимо цю криву ламаною лінією, що складається з прямолінійних ділянок (вздовж радіальних напрямків) і дуг кіл відповідних радіусів. Робота переходу дорівнюватиме сумі робіт на всіх прямолінійних ділянках і на всіх дугах; але при переміщенні по дузі кола гравітаційна сила буде перпендикулярна до переміщення, тому робота в цьому випадку дорівнюватиме нулю. Отже, робота дорівнюватиме: . Зменшуючи довжину прямолінійних ділянок, можна як завгодно наблизити ламану до реальної траєкторії. Якою б не була траєкторія руху, робота залежатиме лише від положення початкової і кінцевої точок.

Вкажемо ще на одну властивість консервативних сил:

Робота консервативних сил по будь-якому замкнутому шляху дорівнює нулю.

Ця властивість еквівалентна незалежності роботи від форми шляху і одержується елементарно.

Всі сили, які не відносяться до консервативних, називають неконсервативними. До них належать так звані дисипативні сили (наприклад, сила тертя ковзання), які залежать не тільки від конфігурації системи тіл, а й від їх відносних швидкостей.

Якщо в системі діють тільки консервативні і гіроскопічні сили, то можна ввести для неї поняття потенціальної енергії. Яке-небудь довільне положення системи, що визначається координатами її матеріальних точок, умовно вважатимемо нульовим.

Робота, яку виконують консервативні сили системи при переході її з даного положення в нульове, називається потенціальною енергією системи в першому положенні.

Оскільки робота консервативних сил не залежить від шляху, то потенціальна енергія системи U є функцією лише її координат (або радіус-вектора ):

.

Так як нульовий рівень вибирається довільно, то потенціальна енергія системи визначена не однозначно, а з точністю до довільної сталої. Ця неоднозначність не впливає на фізичні висновки, тому що хід фізичних явищ залежить не від абсолютних значень потенціальної енергії, а лише від їх різниці в різних станах. Різниця ж потенціальних енергій від вибору довільної сталої не залежить.

Нехай система перейшла з положення 1 в положення 2 по якомусь шляху 1-2. Виразимо роботу А₁₂ , яку виконали к онсервативні сили системи під час такого переходу, через потенціальні енергії U₁ і U_2. Уявимо, що перехід відбувався через положення 0, тобто по шляху 102. Оскільки сили консервативні, то:

Згідно з означенням потенціальної енергії:

де С – одна і та ж адитивна стала. Таким чином:

(7.12)

Робота консервативних сил дорівнює зміні потенціальної енергії, взятій з протилежним знаком.

Знайдемо потенціальну енергію в деяких випадках.

1) Потенціальна енергія м.т. в однорідному полі сили тяжіння.

Якщо м.т. впаде з висоти h на нульовий рівень (відносно якого й відлічувалась h), то сили тяжіння виконають роботу A=mgh. Отже на висоті h м.т. має потенціальну енергію U=mgh+C. Стала С дорівнює потенціальній енергії на нульовому рівні; вважаючи, що вона рівна нулю, одержимо:

U=mgh

(7.13)

2) Потенціальна енергія деформованої пружини.

Пружні сили є центральними силами, тому вони консервативні. Ці сили підлягають закону Гука:

,

де – розтяг (чи стиск) пружини (див. рис. 7.9). Точка прикладання сили пружності здійснює переміщення від 0 до x:

Вважаючи потенціальну енергію пружної деформації в недеформо-ваному стані рівною нулю, одержимо:

(7.14)

3. Потенціальна енергія гравітаційної взаємодії двох матеріальних точок.

Будемо вважати потенціальну енергію взаємодії двох м.т., які знаходяться нескінченно далеко одна від одної, рівною нулю. Робота переміщення м.т. m₂ в нескінченність дорівнює:

Отже:

(7.15)

Якщо тіла наближаються одне до одного, то їх потенціальна енергія зменшується; при вказаному вище виборі нульового рівня вона буде від’ємною.