3. Миттєва вісь обертання. Теорема ейлера.

Під час обертання твердого тіла навколо нерухомої вісі його можна вважати плоским, тобто розглядати рух точок тіла, що лежать в якій-небудь одній площині, перпендикулярній вісі обертання. Розподіл швидкостей точок тіла матиме вид, показаний на рис. 10.3, де т. О – нерухома (через неї проходить вісь обертання). Траєкторії всіх інших точок тіла – це кола з центром в точці О; їх швидкості дорівнюють , де - радіус відповідного кола.

Розглянемо тепер більш загальний рух плоского твердого тіла. Нехай площина обертання співпадає з площиною самого тіла, але нерухомої вісі обертання немає (прикладом може бути кочення колеса). Якщо А і В – дві довільні точки тіла, то відстань між ними залишається сталою, тому:

Продиференціюємо цю рівність за часом:

або (10.5)

Можна показати, що в твердому тілі в будь-який момент часу існує точка, швидкість якої дорівнює нулю (дивись теорему Ейлера). Нехай цією точкою буде точка А. Тоді для розглядуваного моменту часу

,

(10.6)

яким би не було положення точки В. З формули (10.6) видно, що перпендикулярна до , тобто направлена по дотичній до кола з центром в т. А. Під час руху твердого тіла будь-яка пряма (в тому числі й АВ) залишається прямою і відстань між точками не змінюється (АВ=const). Оскільки швидкість т. А в розглядуваний момент дорівнює нулю, то в цей момент пропорційна відстані АВ (рис. 10.4). Отже, миттєвий розподіл швидкостей в тілі в розглядуваний момент часу буде точно таким же, як і при обертанні навколо нерухомої вісі, що проходить через т. А. Рух тіла в цьому випадку називають миттєвим обертанням. Пряму, що проходить через точки тіла, швидкості яких в розглядуваний момент часу дорівнюють нулю, називають миттєвою віссю обертання. Миттєва вісь переміщується як в тілі, так і в просторі.

Миттєва вісь використовується для описання миттєвого розподілу тільки швидкостей; її не можна використовувати для визначення прискорення, наприклад, за формулою , де - радіус-вектор точки відносно миттєвої вісі обертання. Візьмемо для прикладу обруч, що котиться рівномірно ( ). Для довільної точки обруча за теоремою додавання швидкостей маємо (див рис. 10.5):

.

Візьмемо похідну по часу:

, оскільки ;

Розпишемо подвійний векторний добуток:

( ).

Отже: .

Розглянемо загальний випадок руху твердого тіла. Виберемо в тілі довільну точку О. Довільний рух твердого тіла можна розкласти на поступальний зі швидкістю , що дорівнює швидкості точки О, і обертальний навколо миттєвої вісі, що проходить через цю точку. Для іншої довільної точки А твердого тіла можна записати:

,

(10.7)

де - вектор кутової швидкості миттєвого обертання, - радіус-вектор, проведений з т. О в т. А (рис. 10.6).

Швидкість поступального руху залежить від вибору т. О Але кутова швидкість не залежить від положення т. О, до якої віднесено обертання твердого тіла. Тому можна говорити про кутову швидкість обертання твердого тіла не вказуючи цю точку. Для доведення виберемо іншу довільну т. О', відповідну кутову швидкість позначимо . Швидкість тієї ж точки А дорівнюватиме:

(10.8)

Прирівняємо праві частини (10.7) і (10.8):

Врахуємо, що , і те, що для точки О можна записати:

.

Одержимо:

Після скорочень: , звідки: .

Доведемо теорему Ейлера. Розглянемо плоский рух твердого тіла, тобто рух, при якому всі точки тіла рухаються паралельно одній площині. Положення плоского тіла однозначно визначається завданням двох довільних його точок (тобто прямої лінії). Виберемо на тілі відрізок АВ. Нехай АВ перейшов у положення А₁В_1. З’єднаємо т. А з т. А₁, т. В з т. В₁ (див. рис. 10.7).

До середин відрізків АА₁ і ВВ₁ проведемо перпендикуляри ЕО і DО, що перетинаються в т. О. З побудови випливає, що точки А і А₁, а також точки В і В₁ рівновіддалені від т. О. Тому, якщо обертати АВ навколо т. О, можна сумістити т. А з т. А₁. Доведемо, що в цьому випадку т. В співпаде з т. В₁. Припустимо протилежне: т. В співпаде з т. В₂, яка не співпадає з т. В₁. Точка В₂, звичайно, перебуває на такій же відстані від т. О: ОВ₁=ОВ₂. В трикутниках ОА₁В₁ і ОА₁В₂: ОА₁ – спільна сторона, А₁В₁=А₁В₂, тому що тіло тверде. Тому ΔОА₁В₁=ΔОА₁В₂, тобто кут А₁ОВ₁ дорівнює куту А₁ОВ₂; таким чином, т. В₂ повинна співпасти з т. В₁.

Отже, при плоскому русі тверде тіло може бути переведено з будь-якого положення в інше довільне положення за допомогою одного повороту навколо деякої вісі. Це положення є частковим випадком теореми Ейлера.

Розкладаючи довільний плоский рух тіла на ряд послідовних нескінченно малих переміщень та використовуючи доведену теорему, можна отримати такий наслідок: довільний плоский рух твердого тіла можна розглядати як обертання навколо миттєвої вісі, яка рухається як в тілі так і у просторі.

Для загального випадку руху твердого тіла швидкість однієї якої-небудь точки тіла дорівнює:

,

де О – довільна точка, – швидкість її поступального руху, – миттєва швидкість миттєвого обертання навколо миттєвої вісі, яка проходить через цю точу.