1. Теоретический материал
Необходимо
построить линейную математическую
модель объекта управления в виде
импульсной переходной функции w(t)
на основании данных эксперимента
“вход–выход”. В связи с отсутствием
математической модели объекта управления
решается задача непараметрической
идентификации, т.е. w(t)
определяется как совокупность значений
на заданной равномерно сетке по времени
с шагом
.
Выходной сигнал линейной динамической системы y(t) можно определить с помощью интеграла свертки входного сигнала x(t) и импульсной переходной функции системы w(t) (прямая задача):
(1)
Обратная задача (задача идентификации) заключается в том, чтобы найти импульсную переходную функцию w(t), т.е. решить интегральное уравнение (1), когда входной x(t) и выходной y(t) сигналы известны. Эту задачу будем решать для известного выходного сигнала y(t), а также для зашумлённого сигнала z(t)= y(t)+n(t), где n(t)–помеха. В условиях реального эксперимента идентификация затрудняется наличием шумов, которыми могут быть: чистые помехи; неизмеряемые сигналы, коррелированные с измеряемыми; ошибки измерения и преобразования; ошибки, связанные с неадекватностью предполагаемой структуры модели объекту и т.д. Все эти шумы можно привести к выходу и представить одной величиной n(t) (рис.1) [1].
X(t) Объект y(t) n(t) z(t)
Рис.1. Схема процесса идентификации
Обратная задача может быть решена с использованием преобразования Фурье. Известно, что комплексные функции Y(j), X(j) и W(j), являющиеся Фурье–образами соответственно функций y(t), x(t), w(t), связаны между собой следующим соотношением:
(2)
Отсюда
(3)
Импульсная переходная функция w(t) определяется с помощью обратного преобразования Фурье от W(j). Практически при вычислении Фурье–образа импульсной переходной функции W(j) пользуются выражением:
(4)
где
,
–
функция сопряженная с X(j).
Необходимо
отметить, что задача решения интегрального
уравнения (1) является обратной задачей
(восстановление характеристик системы
по результатам ее функционирования) и
относится к классу некорректно
поставленных задач [6,7], т.е. ее решение
оказывается неустойчивым к погрешностям
исходных данных. Некорректность в
предложенном алгоритме проявляется в
значительных погрешностях определения
функции W(j)
при больших
.
В самом деле, если вместо точной реакции
y(t) измеряется
зашумленная реакция
(наблюдаемый сигнал
есть аддитивная смесь точного отклика
объекта и помехи), то для восстановления
w(t)
необходимо решить интегральное уравнение
.
(5)
Преобразование Фурье уравнения (5) дает свертку в частотной области:
(6)
(7)
Спектры
Фурье
и
стремятся к нулю несогласованно: обычно
спектр помехи
существенно шире спектра входного
сигнала
.
Поэтому второе слагаемое может породить
операцию деления на нуль или на близкое
к нулю число. В итоге уклонение
от
может оказаться сколь угодно большим.
Хорошо известен метод борьбы с помехами, состоящий в повторении эксперимента и последующего усреднения результатов [2]. В настоящей работе устойчивость вычислительного процесса процедуры идентификации обеспечивается использованием метода регуляризации А.Н. Тихонова [7,8]. При этом, в отличие метода усреднения здесь не требуется многократного повторения эксперимента (оно заменяется многократным решением задачи при поиске параметров регуляризации), гарантируется требуемая гладкость решения и решение находится с той именно точностью, с которой осуществлены измерения.
В этом случае Фурье–образ функции w(t) определяется из соотношения:
(8)
где >0 – параметр регуляризации;
(9)
– положительная функция, обеспечивающая регуляризацию p–го порядка.