12. Дайте определение понятия «матричная модель». Изложите и охарактеризуйте основные этапы матричного моделирования

ОТВЕТ:

Матричные экономико-математические модели предназначены для анализа и планирования производства и распределения про­дукции на различных уровнях — от отдельного предприятия до народного хозяйства в целом.

Положительными и ценными качествами данной модели являются общность расчетов, которые опираются на знание коэффициентов прямых и полных материальных затрат.

Основу баланса составляет совокупность всех отраслей мате­риального производства; их число равно п. Каждая отрасль дважды фигурирует в балансе: как производящая и как потребляющая. Отрасли как производителю продукции соответ­ствует определенная строка, а отрасли как потребителю про­дукции — определенный столбец. Если номер любой производящей отрасли обозначить через i, а номер любой потребляющей отрасли — через j, то находящиеся на пересечении отраслей (т. е. соответственно строк и столбцов) величины х_ij нужно понимать как стоимость средств производства, произведенных в i-й отрасли и потребленных в качестве материальных затрат в j-и отрасли.

х_ij – технологический коэффициент.

Матричная модель межотраслевого баланса

Производящая отрасль	Потребляющая отрасль					Продукция, тыс.грн.
	1	2	3	j	N	Конечная	Валовая
1	x11	x12	x13	.	x1n	y1	X1
2	x21	x22	x23	.	x2n	y2	X2
3	x31	x32	x33	.	x3n	y3	X3
I	.	.	.	.	.	...	.
N	xn1	xn2	xn3	.	xnn	yn	Xn
Оплата труда	v1	v2	v3	.	vn	vкон	-
Чистый доход, тыс. грн.	m1	m2	m3	.	mn	mкон	-
Валовая продукция, тыс. грн.	X1	X2`	X3	.	Xn	-	X

В столбцах межотраслевого баланса отражается структура материальных затрат и чистой продукции каждой отрасли. Допустим, 1-я отрасль—это производство электроэнергии, 2-я — угольная промышленность. Тогда величина х₁₁ показывает стоимость электроэнергии, израсходованной внут­ри 1-й отрасли для собственных производственных нужд. Вели­чина x₁₂ отражает затраты угля в производстве электроэнергии. В целом же столбец х₁₁, x₂₁, х₃₁, ..., х_n1 характеризует структуру материальных затрат 1-й отрасли за отчетный год в разрезе

от­раслей-поставщиков.

В балансе отражены не только материальные затраты, но и чистая продукция отраслей. Так, чистая продукция 1-й отрасли характеризуется суммой оплаты труда v₁ и чистого дохода (при­были) m₁. Итог материальных

затрат и чистой продукции равен, очевидно, валовой продукции отрасли (например, для 1-й отрас­ли—величине Х₁). Таким образом, можно записать:

Х1=х₁₁+х₂₁+х₃₁+.+х_n1+v₁+m₁ = (1)

То же соотношение для любой отрасли имеет следующий вид :

X (2)

Если рассматривать модель по строкам межотраслевого баланса, то здесь представлено распределение годового объема продукции каждой отрасли материального производства:

Х₁ = х₁₁+х₁₂+х₁₃+ . +х_1т+y₁ =

тогда для любой производящей отрасли:

Х_i= (3)

Если сравнить правую и левую части уравнений (2) и (3), то можно отметить, что у них присутствует общий член х_ij .Тогда можно записать выражение:

(4)

Выражение (4) показывает, что в межотраслевом балансе соблюдается важнейший принцип – это единство материального баланса, представленного выражением, как единства вещественного и стоимостного состава национального дохода.

Квадрант I – промежуточная продукция, показывает распределение материальных затрат по всем производящим отраслям.

Квадрант II – конечная продукция, которая вышла из сферы производства и попала в сферу сбыта. В развернутом виде ее можно представить как продукцию, идущую на личное потребление, на общественные нужды, а также на восполнение ресурсов и экспорт.

Квадрант III – характеризует национальный доход со стороны его стоимостного состава как сумму оплаты труда и чистого дохода всех отраслей материального производства. Данные этого квадранта необходимы для глубокого экономического анализа.

Квадрант IV – отражение конечного распределения и использования национального дохода. Он находится на пересечении столбцов конечной продукции и строк национального дохода.

В целом модель отражает балансы отраслей материального производства, баланс всего общественного продукта, балансы национального дохода, финансовый баланс, баланс доходов и расходов населения. В балансе отражено единство материально-вещественного и стоимостного состава национального дохода.

13. Дайте определение понятия «функция». Опишите свойства линейной y=kx+b. Продемонстрируйте выполнение свойств на графиках

ОТВЕТ:

Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной x однозначно определяет значение выражения x², а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Линейная функция — функция вида y = kx + b(для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

График линейной функции является прямой линией, с чем и связано ее название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

Частный случай b=0 линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от b≠0 — неоднородных линейных функций.

Свойства функции y=kx+b:

1. Область определения - множество всех действительных чисел;

2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна;

3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой.

Г РАФИК:

14. Дайте определение понятия «функция». Опишите свойства степенной функций y=xⁿ. Продемонстрируйте выполнение свойств на графиках

ОТВЕТ:

Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной x однозначно определяет значение выражения x², а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Степенная функция с натуральным показателем - функция, заданная формулой y=xⁿ, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x. При n=2;3 получаем функции y=x²;

y=x³.

Пусть n - произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=xⁿ обладает теми же свойствами, что и функция y=x². Свойства функции y=x²:

1. Область определения - вся числовая прямая;

2. y=x² - четная функция;

3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает;

4. На промежутке (-¥;0] функция убывает.

График функции напоминает параболу y=x², только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем «теснее прижимаются» к оси Х, чем больше n.

Пусть n - произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=xⁿ обладает теми же свойствами, что и функция y=x³. Свойства функции y=x³:

1. Область определения - вся числовая прямая;

2. y=x³ - нечетная функция;

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

График функции напоминает кубическую параболу.

15. Дайте определение понятия «функция». Опишите свойства функции y=1/х. Продемонстрируйте выполнение свойств на графике

ОТВЕТ:

Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной x однозначно определяет значение выражения x², а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Свойства функции y=1/x:

1. Область определения - множество всех действительных чисел кроме нуля;

2. y=1/x - нечетная функция;

3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Графиком функции является гипербола.

16. Дайте определение понятия «функция». Опишите свойства тригонометрической функции y=sin x . Продемонстрируйте выполнение свойств на графике

ОТВЕТ:

Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной x однозначно определяет значение выражения x², а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Свойства функции y=cos x:

а)  Область определения: D (sin x) = R .

б)  Множество значений: E (sin x) = [ – 1 ,  1 ] .

в)  Четность, нечетность:  функция нечетная.

г)  Периодичность:   функция периодическая с основным периодом  T = 2 .

д)  Нули функции:  sin x = 0  при   x = n,   n  Z.

е)  Промежутки знакопостоянства:

;      .

ж) Промежутки монотонности:

;

.

з)  Экстремумы:

;          .

График функции  y= sin x изображен на рисунке:

17. Дайте определение понятия «функция». Опишите свойства тригонометрической функции y=cos x . Продемонстрируйте выполнение свойств на графике

ОТВЕТ:

Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной x однозначно определяет значение выражения x², а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Свойства функции y=cos x:

а)  Область определения: D (cos x) = R .

б)  Множество значений:   E (cos x ) = [ – 1 ,  1 ] .

в)  Четность, нечетность:   функция четная.

г)  Периодичность:   функция периодическая с основным периодом  T = 2 .

д)  Нули функции:  cos x = 0  при   x =  + n,   n  Z.

е)  Промежутки знакопостоянства:

; 

ж)  Промежутки монотонности:

;

.

з)  Экстремумы:

;            .

Г рафик функции y= cos x изображен на рисунке:

18. Дайте определение понятия «функция». Опишите свойства тригонометрической функции y=tgx. Продемонстрируйте выполнение свойств на графике

ОТВЕТ:

Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной x однозначно определяет значение выражения x², а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Свойства функции y=tgx:

а)  Область определения:   D (tg x) = R \ { /2 +  n( n  Z ) }.

б)  Множество значений:   E (tg x ) = R .

в)  Четность, нечетность:   функция нечетная.

г)  Периодичность:   функция периодическая с основным периодом  T = .

д)  Нули функции:  tg x = 0  при   x = n,   n  Z.

е)  Промежутки знакопостоянства:

;        .

ж)  Промежутки монотонности:  функция возрастает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

з)  Экстремумы:  нет.

 График функции y = tg x изображен на рисунке:

19. Дайте определение понятия «функция». Опишите свойства тригонометрической функции y =ctgx . Продемонстрируйте выполнение свойств на графике

ОТВЕТ:

Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной x однозначно определяет значение выражения x², а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Свойства функции y=сtgx:

а)  Область определения:   D (ctg x) = R \ {  n( n  Z ) }.

б)  Множество значений:   E (ctg x ) = R .

в)  Четность, нечетность:   функция нечетная.

г)  Периодичность:   функция периодическая с основным периодом  T = .

д)  Нули функции:  ctg x = 0  при   x = /2 + n,   n  Z.

е)  Промежутки знакопостоянства ;

;       .

ж)  Промежутки монотонности:  функция убывает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области  определения.

з)  Экстремумы:  нет.

Г рафик функции y = ctg x изображен на рисунке:

 

20. Дайте определение понятия «функция». Опишите свойства показательной функции у=а^х. Продемонстрируйте выполнение свойств на графике

ОТВЕТ:

Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной x однозначно определяет значение выражения x², а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Свойства функции функции у=а^х:

1. Область определения — множество R действительных чисел.

2. Область значений — множество R₊ всех положительных действительных чисел.

3. При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает на множестве R.

Графиком является экспонента.

21. Дайте определение понятия «функция». Опишите свойства логарифмической функции y=log_ax. Продемонстрируйте выполнение свойств на графике

ОТВЕТ:

Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной x однозначно определяет значение выражения x², а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Свойства функции функции y =log_ax:

а) D(f) = R+;

б) E(f) = R;

в) функция убывает;

г) если x = 1, то log_a x = 0;

д) если 0 < x < 1, то log_a x > 0;

е) если x > 1, то log_a x < 0.