1.2.1 Проекция множества.

Проекция множества определена только для множеств, элементами которого являются кортежи одинаковой длины.

Проекцией множества называется множество проекций соответствующих кортежей.

Пример.

А=1,2,3;4,5,6;3,3,3

Пр А₁=

Пр А_1,3=,3,6,3

Пр А_3,1 не определена.

1.2.2 График и свойства графика

Графиком называется множество пар. Графики могут задаваться :

1. перечислением:

2. описанием свойств:

Пара <a,b> называется инверсией пары <c,d>, если a=d, b=c.

График P^-1 называется инверсией графика P, если он состоит из инверсий пар графика P.

ПРИМЕР.

P={<1,2>;<2,3>;<3,4>,<4,5>}.

P^-1={<2,1>;<3,2>;<4,3>;<5,4>}.

График называется симметричным, если вместе с каждой парой он содержит её инверсию.

(27)

Диагональным называется график вида:

, (28)

для всех x,y M.

Композицией графиков называется график R, такой что для любой пары <x,y>R есть такой элемент z, что <x,z,>P, а <z,y>Q.

, (29)

ПРИМЕР.

1. Пусть заданы графики P={<a,b>; <a,c>; <f,b>} и Q={<c,c>; <b,d>; <k,f>; <b,m>}. Найти композицию графиков P и Q.

P Q={<a,d>;<a,m>;<a,c>;<f,d>;<f,m>}.

2. Пусть заданы графики P и Q:

Р ис 5. Композиция графиков.

1 .2.3. Свойства графиков.

Функциональным графиком называется график, который не содержит пары с одинаковыми первыми и различными вторыми компонентами.

Инъективным графиком называется график, который не содержит пары с одинаковыми вторыми и различными первыми компонентами.

y y y

P₁ P₂ P₃

x x x

Р ис 6. Примеры графиков.

P₁График функциональный, но не инъективный.

P₂График инъективный, но не функциональный.

P₃ График функциональный и инъективный.

Возможно другое изображение графиков.. Пусть , а

Р ис 7 . Примеры графиков.

P₁График функциональный, но не инъективный.

P₂График инъективный, но не функциональный.

P₃ График функциональный и инъективный.

1.3. Соответствия и отношения

1.3.1. Прямое (декартовое) произведение множество.

Прямым (декартовым) произведением множества и множества называется множество пар таких, что:

, (29)

ПРИМЕР.

Пусть заданы и : , . Тогда прямое (декартовое) произведение этих множеств может быть представлено графически:X={x | x2}

Рис. 8 График прямого произведения множеств и :

Пусть заданы и : , . Тогда прямое (декартовое) произведение этих множеств представляет шахматную доску.

1.3.2. Соответствия.

Соответствием называется тройка вида . При этом - область отправления (определения), - область прибытия (значений), - график соответствия.

ПРИМЕР.

Дано соответствие <P,X,Y> такое, что:

X={x x  ;

Y=y y  ;

P={<x,y> y=x²}.

y

Рис. 9 График соответствия.

Если , то данное соответствие называется полным.

Если , то данное соответствие называется пустым.