Существование решения системы линейных уравнений общего вида

        Определение 15.3   Система (15.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной -- в противном случае, то есть в случае, когда решений у системы нет.         

Вопрос о том, имеет ли система решение или нет, связан не только с соотношением числа уравнений и числа неизвестных. Например, система из трех уравнений с двумя неизвестными

(15.4)

имеет решение , и даже имеет бесконечно много решений, а система из двух уравнений с тремя неизвестными

(15.5)

решений не имеет, то есть является несовместной.

Ответ на вопрос о совместности произвольной системы уравнений (15.1) дает приведенная ниже теорема.

        Определение 15.4   Расширенной матрицей системы линейных уравнений (15.1) называется матрица , отличающаяся от матрицы системы наличием дополнительного столбца из свободных членов:

        

        Предложение 15.1   Ранг расширенной матрицы либо равен рангу матрицы системы , либо больше его на единицу.

        Доказательство.    Так как любая линейно независимая система столбцов матрицы является линейно независимой системой столбцов матрицы , то в силу предложения 14.26 .

Пусть . Предположим, что , . Тогда в матрице есть линейно независимая система из столбцов. Среди этих столбцов может быть только один, не принадлежащий матрице . Тогда подсистема остальных столбцов, принадлежащих матрице , должна быть линейно независимой. Следовательно, . Получили противоречие. Предположение, что , неверно.     

        Теорема 15.2   (Теорема Кронекера-Капелли.) Система линейных уравнений (15.1) является совместной тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы .

        Доказательство.     Оно распадается на два этапа.

1. Пусть система имеет решение. Покажем, что .

Пусть набор чисел является решением системы. Обозначим через -ый столбец матрицы , . Тогда , то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы . Пусть . Предположим, что . Тогда по предложению 15.1 . Выберем в базисный минор . Он имеет порядок . Столбец свободных членов обязан проходить через этот минор, иначе он будет базисным минором матрицы . Столбец свободных членов в миноре является линейной комбинацией столбцов матрицы . В силу свойств определителя ( предложения 14.13, 14.18) , где  -- определитель, который получается из минора заменой столбца свободных членов на столбец . Если столбец проходил через минор , то в , будет два одинаковых столбца и, следовательно, . Если столбец не проходил через минор , то будет отличаться от минора порядка матрицы только порядком столбцов. Так как , то . Таким образом, , что противоречит определению базисного минора. Значит, предположение, что , неверно.

2. Пусть . Покажем, что система имеет решение. Так как , то базисный минор матрицы является базисным минором матрицы . Пусть через минор проходят столбцы . Тогда по теореме о базисном миноре в матрице столбец свободных членов является линейной комбинацией указанных столбцов:

(15.6)

Положим , , , , остальные неизвестные возьмем равными нулю. Тогда при этих значениях получим

В силу равенства (15.6) . Последнее равенство означает, что набор чисел является решением системы. Существование решения доказано.     

В рассмотренной выше системе (15.4) , и система является совместной. В системе (15.5) , , и система является несовместной.

        Замечание 15.3   Хотя теорема Кронекера-Капелли дает возможность определить, является ли система совместной, применяется она довольно редко, в основном в теоретических исследованиях. Причина заключается в том, что вычисления, выполняемые при нахождении ранга матрицы, в основном совпадают с вычислениями при нахождении решения системы. Поэтому, обычно вместо того, чтобы находить и , ищут решение системы. Если его удается найти, то узнаем, что система совместна и одновременно получаем ее решение. Если решение не удается найти, то делаем вывод, что система несовместна.