Основні елементарні функції і їх графіки

Основними елементарними функціями називаються наступні функції.

1. П оказникова функція . На рис. 104 показані графіки показникових функцій, відповідні різним показникам степеня.

2. Степенева функція . Приклади графіків степеневих функцій, відповідних різним показникам степеня, надані на рис 105.

3) Логарифмічна функція . Графіки логарифмічних функцій, відповідні різним основам, показані на рис. 106

4 ) Тригонометричні функції y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx. Графіки тригонометричних функцій мають вигляд, показаний на рис. 107.

5) Обернені тригонометричні функції . На рис. 108 показані графіки обернених тригонометричних функцій.

Функція, що задається однією формулою, складеною з основних елементарних функцій і постійних за допомогою скінченного числа арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення) і операцій узяття функції від функції, називається елементарною функцією.

Прикладами елементарних функцій можуть служити функції

Прикладами неелементарних функцій можуть служити функції

43. Функцию , визначену на множині , називають обмеженою на цій множині, якщо існує таке число , що для всіх виконується нерівність (короткий запис : , , називається обмеженою на , якщо : .

44.Нехай функція визначена на множині і нехай . Якщо для будь-яких значень аргументів з рівності випливає нерівність : , то функція називається зростаючою на множині ; , то функція називається неспадною на множині ; , то функція називається спадною на множині ; ,то функція називається незростаючою на множині .

Рис.100

Наприклад, функція, задана графіком (див. рис. 100), спадає на інтервалі (-2; 1), неспадає на інтервалі(1; 5), зростає на інтервалі(3; 5).

Зростаючі, незростаючі, спадні і неспадні функції на множині називається монотонними на цій множині, а зростаючі і спадні – строго монотонними. Інтервали, в яких функція монотонна, називається інтервалами монотонності. На малюнку (вище) функція строго монотонна на (-2; 1) і (3; 5); монотонна на (1; 3).

_{45. Під неявно заданою функцією розуміють функцію, яка задана у вигляді F(x,y)=0, не розв’язана відносно y. Прикладом неявно заданої функції може бути коло.}

46.Нехай задана функція з областю визначення і множиною значень . Якщо кожному значенню відповідає єдине значення , то визначена функція з областю визначення і множиною значень .

Така функція називається зворотною до функції і записується в наступному вигляді : . Про функції і говорять, що вони є взаємно оберненими. Щоб знайти функцію , обернену до функції , достатньо розв’язати рівняння щодо (якщо це можливо).

Приклади :

1.Для функції оберненою функцією є функція ;

2.Для функції , [0; 1], оберненої не існує, оскільки одному значенню у відповідає два значення х (так, якщо = то =, =).

З визначення оберненої функції випливає, що функція має обернену тоді і тільки тоді, коли функція задає взаємно однозначну відповідність між множинами і .Звідси випливає, що будь-яка строго монотонна функція має зворотну. При цьому якщо функція зростає (спадає), то обернена функція також зростає(спадає).

Звернимо увагу, що функція і обернена їй зображаються одній і тій же кривій, тобто графіки їх співпадають. Якщо ж умовитися, що, як завжди, незалежну змінну (тобто аргумент) позначити через х, а залежну змінну через , то функція обернена функції запишеться у вигляді

Це означає, що точка кривої стає точкою кривої Але точки симетричні щодо прямої = (див. рис. 103).

Тому графіки взаємно обернених функцій і симетричні щодо бісектриси першого і третього координатних кутів.

_{47. Параметрично задані функції записуються у вигляді}

_{x – функція від t і y – функція від t.Функціональна залежність у від х задається у вигляді двох функцій і називається параметричним заданням функції. Припустимо, що функція і –визначенні на одному проміжку t1 і t2. Якщо функція – монотонна, то вона має обернену функцію і можна виразити t через х .} ;

48. Під числовою послідовністю _… розуміється функція задана на множині натуральних чисел. Стисло послідовність позначається у вигляді або . Число називається першим членом (елементом) послідовності, - другим , -загальним або n-м членом послідовності.

Частіше всього послідовність задається формулою його загального виду члена.

Послідовність називається обмеженою, якщо існує таке число , що для будь-кого виконується нерівність

В окремому випадку послідовність називається необмеженою.

Послідовність називається зростаючою (не спадною), якщо для будь-кого n виконується нерівність . Аналогічно визначається спадна (е зростаюча) послідовність. Всі ці послідовності називаються монотонними послідовностями . Послідовності , і монотонні, а - не монотонна.

Якщо всі елементи послідовності рівні одному і тому ж числу з, то її називають постійною.

Інший спосіб завдання числових послідовностей- рекурентний спосіб. В ньому задається початковий елемент (перший член послідовності) і правило визначення n-го елемента по (n-1)-му : .

Таким чином, , і т.д. При такому способі задання послідовності для визначення 100-го члена треба спочатку порахувати всі 99 попередніх.

49.Число а називається границею послідовності , якщо для будь-якого додатного числа  знайдеться таке натуральне число , що при всіх виконується нерівність

(15.2)

В цьому випадку пишуть або і говорять, що послідовність (або змінна , пробігаюча послідовність , , ) має границю, рівну числу а (або прагне до а ). Говорять також, що послідовність наближається до а.

Коротко визначення межі можна записати так :

Нерівність (15.2) рівносильна нерівностям - < -а < або a- < < a+ , які показують, що елемент знаходиться в - окіл точки а.

Тому означення границі послідовності геометрично можна сформулювати так : число а називається границею послідовності , якщо будь-яке - окіл точки а знайдеться натуральне число , що всі значення для яких , потраплять в -окіл точки а (див. рис.109).

Ясно, що чим менше , тим більше число , але у будь-якому випадку всередині - окіл точки а знаходиться нескінченне число членів послідовності, а зовні неї може бути лише кінцеве їх число.

Звідси випливає, що послідовність, що збігається, має тільки одну границю. Послідовність, що не має границі, називається тією, що розходиться. Такий є, наприклад, послідовність (див. з рис. 107).

Постійна послідовність =c, n має границю, рівну числу 3, тобто . Дійсно, для при всіх натуральних n виконується нерівність (15.2). Маємо | -c|=|c-c|=0 < .

50.Число А називається границею функції у =f(x) при x→ x0 , якщо для будь-якого наперед заданого, скільки зав­годно малого ε > 0 знайдеться таке число  >0, що для усіх x, відмінних від х0 i які задовольняють нерівність , виконується нерівність | f(x) - A|<ε.

Відмітимо, що  залежить від ε і найчастіше зменшується, коли зменшується ε.

Якщо функція у = f(х) має границею числа А1, лише при умові, що x→x0 зліва, то використовують такий запис:

,

а число А1 називають однобічною границею функції у = f(x) зліва. Якщо число А2є границею функції у =f(х) при х→х0 справа, то використовують запис:

,

а число А2 називають однобічною границею функції у = f(х) справа. Цi границі функції називають однобічними.

Для існування границі А функції f(х) i точці х0 необхідно і достатньо, щоб існували в цій точці границі функції зліва та справа і щоб вони були рівні, тобто А1 = А2 = А.

_{51.Якщо для довільного числа М>0 інує таке значення х, починаючи з якого всі наступні значення задовольняють нерівність |x|>M, то кажуть, що зміна х прямує до нескінченості:}

_{Якщо зміна ,то її називають нескінченно великою зміною величиною.}

Властивості:

1.Сума нескінченно великих величин і величини обмеженої є нескінченно велика величина.

2.Сума двох нескінченно великих величин є величина нескінченно велика.

3.Сума двох нескінченно великих величин різних знаків не завжди нескінченно велика і тому називається невизначеністю «нескінченість мінус нескінченість».

4.Добуток двох нескінченно великих величин є величина нескінченно велика.

5.Добуток нескінченно великої величини на величину, що більша за абсолютним значенням деякого додатного числа також є нескінченно велика.

6.Частка двох нескінченно великих величин не завжди є нескінченно великою величиною і називається невизначеністю виду «нескінченість поділити на нескінченість».

52. Функція називається нескінченно малою при , якщо

За означенням границі функції рівність означає : для будь-якого числа >0 знайдеться таке, що для всіх х, задовольняючих нерівності , виконується нерівність .

Аналогічно визначається н.м.ф. при , , , : у всіх цих випадках .

Властивості:

1. Якщо функція f(x) нескінченно мала, коли , то 1/f(x) - буде величина нескінченно велика.

2. Алгебраїчна сума декількох нескінченно малих величин є також величина нескінченно мала.

3. Добуток нескінченно малої функції на нескінченно малу функцію є функція нескінченно мала.

4. Різниця двох нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

5. Добуток обмеженої змінної величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала.

6. Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, границя якої не дорівнює 0 є функція нескінченно мала.

7. Частка від ділення двох нескінченно малих величин у загальному випадку не є нескінченно малою величиною. Границя відношення двох нескінченно малих величин може дорівнювати деякому числу нескінченості або 0. У зв’язку з цим відношення двох нескінченно малих величин називається невизначеністю виду «0/0».

8. Добуток нескінченно малої величини на нескінченно велику величину називається невизначеністю виду « »

53.Нехай функція визначена в деякому околу точки , крім, можливо, самої точки .

Означення(на «мові послідовностей», або по Гейне). Число А називається границею функції в точці (або при ), якщо для будь-якої послідовності допустимих значень аргументу , ( ), що збігається до (тобто ), послідовність відповідних значень функції , , збігається до числа А.

В цьому випадку пишуть або при . Геометрично значення границі функції : означає, що для всіх точок х, достатньо близьких до точки , відповідні значення функції як завгодно мало відрізняються від числа А.

54. Нехай функція визначена в деякому околу точки , крім, можливо, самої точки .

Означення(на «мові », або по Коші). Число А називається границею функції в точці (або при ), якщо для будь-якого додатного  знайдеться таке додатне число , що для всіх , задовольняючих нерівності , виконується нерівність .

Записують . Це означення коротко можна записати так :

Геометричне тлумачення границі функції : А= , якщо для будь-кого - окілу точки А знайдеться такий - окіл точки , що для всіх з цього - околу відповідні значення функції (х) лежать в - околі точки А. Іншими словами, точки графіка функції лежать усередині смуги шириною 2, обмеженої прямими (див. рис.110).

Очевидно, що величина  залежить від вибору , тому пишуть .

55. У означенні границі функції вважається, що х прямує будь-яким способом : залишаючись меншим, ніж (зліва від ), більшим, ніж (праворуч від ), або коливаючись біля точки .

Бувають випадки, коли спосіб наближення аргументу х до істотно впливає на значення границі функції. Тому вводять поняття односторонніх границь.

Число називається границею функції зліва в точці , якщо для будь-кого число існує число таке, що при , виконується нерівність . Границю зліва записують так : або коротко (позначення Діріхле) (див. рис.111)

Аналогічно визначається границя функції справа, запишемо його за допомогою символів :

К оротко границю справа позначають .

Границі функції зліва і справа називаються односторонніми межами .

Необхідною і достатньою умовою існування границі функції в точці є рівність односторонніх границь в цій точці:

56. Теорема про границю суми, добутку і частки:

Якщо кожна з функцій f(x) і φ(x) має скінчену границю в точці , то в цій точці існують також границі функцій f(x)±φ(x), f(x)*φ(x), f(x)/φ(x)(φ(x)≠0).І справедливі формули:

1)

₂₎

₃₎

_{57. Теорема про границю проміжної функції:}

Якщо функція f(x) знаходиться між двома функціями (х) і g(x), прямують до однієї і тієї ж границі, то вона також прямує цієї границі, тобто якщо

58. Перша чудова границя

Границя відношення синуса до його аргументу рівна одиниці, коли аргумент прямує до нуля.