Средняя арифметическая, ее вычисление и область применения
Средняя арифметическая - самый распространенный вид степенных средних. Поэтому, когда речь идет о средней величине и не указывается ее вид, чаще всего подразумевается именно средняя арифметическая.
Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда общий объем варьирующего признака для совокупности образуется как сумма значений признака у отдельных ее единиц.
Рассмотрим основные случаи практического вычисления средней арифметической при различной исходной информации.
1. Имеются не отдельные значения варьирующего признака, а их сумма (общий объем признака) и количество единиц совокупности. В этом случае расчет средней сводится к делению общего объема признака на количество единиц совокупности. Например, если известен стипендиальный фонд группы за месяц, равный грн., а численность студентов бюджетников -….. человек, то средний размер стипендии составит:
2. Имеются значения варьирующего признака по каждой отдельной единице совокупности. Например, оценки трех студентов на экзамене по микроэкономике составили соответственно: 3, 4 и 5. Найдем средний балл.
Исходная база расчета средней имеет вид:
Вычисление средней арифметической производится путем суммирования значений признака по всем единицам и последующего деления полученной суммы на их количество. В данном случае пользуются формулой средней арифметической простой:
балла,
где - варианты осредняемого признака;
-
число вариант.
Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда в исходных данных значения каждого варианта встречаются только один раз, либо одинаковое число раз (веса равны), либо веса вообще отсутствуют.
3. Часто при проведении исследований в статистической совокупности значения отдельных вариантов могут встречаться несколько раз (обладают повторяемостью). По таким данным могут быть построены вариационные ряды.
Если вариационный ряд дискретный, то для вычисления средней нужно значения вариантов умножить на соответствующие частоты и сумму этих произведений разделить на сумму частот ( ):
.
Пусть, например, результаты сдачи экзамена по микроэкономике студентами группы следующие:
Таблица 1
Распределение студентов группы по результатам сдачи экзамена
по микроэкономике
Оценка (варианты)
|
Число студентов (частоты) |
|
2 |
3 |
|
3 |
7 |
|
4 |
10 |
|
5 |
5 |
|
Итого |
25 |
|
Средняя оценка на экзамене составила:
Рассмотрим расчет средней арифметической по данным интервального вариационного ряда. В подобных рядах значение вариантов приводятся в виде интервала «от...до».
Пример.
Исходная база для расчета средней имеет вид:
Обозначив варианты пропусков занятий через , а число студентов через , то в соответствии с исходным отношением получим формулу средней арифметической взвешенной:
.
Эта формула предполагает наличие вариантов в дискретной форме, тогда как в интервальном ряду для каждой группы указаны лишь нижняя и верхняя границы интервала.
Исходя из предположений о том, что значения признака у отдельных единиц каждой группы распределяются внутри интервала более или менее равномерно, в качестве множителей берется среднее значение интервала как полусумма его верхней и нижней границ (гр.2). Эти средние значения интервалов и будут новыми значениями вариантов, подлежащих усреднению.
Если в рассматриваемом ряду имеются интервалы с так называемыми открытыми границами (в приведенном примере - последний интервал с неизвестным верхним пределом, то для нахождения их середины ориентируются на ширину смежного интервала (в данном случае - предыдущего). Следовательно, верхняя граница последнего интервала ………………………………..., а середина (………………………..):2=………..
Дальнейшие расчеты по определению средней приведены в табл.2 (см. гр.3). Подставляя итоговые данные гр.3 в формулу взвешенной средней арифметической, найдем среднее количество пропусков:
Средняя арифметическая взвешенная применяется в тех случаях, когда показатель, находящийся в числителе исходного отношения средней, непосредственно неизвестен, а его величина равна сумме произведений вариантов осредняемого признака на соответствующие слагаемые знаменателя исходного отношения (веса - ).
Следует отметить, что приведенное выше преобразование интервального ряда в дискретный приводит к некоторой неточности в определении средней. Поэтому рассмотренный метод расчета средней для интервального ряда следует применять лишь в тех случаях, когда отсутствуют данные о значении признака у каждой отдельной единицы, так и данные об общем объеме признака для всей совокупности в целом.
Средняя арифметическая обладает рядом свойств, которые могут быть использованы для упрощения ее вычисления. Приведем (без доказательств) основные свойства средней арифметической:
Средняя от постоянной величины равна ей самой:
2. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариантов на частоты:
3. Изменение каждого варианта на одну и ту же величину изменяет среднюю на ту же величину:
4.Изменение каждого варианта в одно и то же число раз изменяет среднюю во столько же раз:
5. Изменение каждого из весов в одно и то же количество раз не изменяет величины средней:
6. Алгебраическая сумма отклонений вариантов от средней арифметической равна нулю:
Средняя суммы равна сумме средних:
8. Сумма квадратов отклонений вариантов от средней арифметической меньше, чем от любой другой величины:
Использование некоторых из приведенных выше основных свойств средней арифметической позволяет облегчить ее вычисление. В частности, на свойствах 3,4 и 5 основан способ расчета в интервальных рядах, называемый «способом моментов» или «способом отсчета от условного нуля», суть которого заключается в следующем:
1.
Из всех вариантов осредняемого признака
вычитается постоянное число
.
Выбор
может быть произвольным, однако
значительные упрощения достигаются
если в качестве такового выбрать середину
центрального интервала или интервала,
обладающего наибольшей частотой.
2.
Затем полученные разности следует
разделить на другое постоянное число
(
-
общий наибольший делитель
,
а в случае равных интервалов - ширина
интервала). Таким образом мы получаем
значения преобразованных вариантов
:
,
среднее значение из которых называется условным моментом первого порядка:
.
Для определения средней арифметической необходимо момент первого порядка умножить на величину интервала и к полученному произведению прибавить величину ранее вычитаемого из всех вариантов :
.
Все расчеты применительно к нашему примеру показаны в столбцах 4-6 табл.2. За начало условного отсчета принято значение середины интервала, обладающего наибольшей частотой ( = ……… ), а в качестве - величина интервала ( = ………… ). Отнимая от середины каждого интервала …….. (см.гр. 4), и разделив полученные разности на …….., получим новые варианты …………………………………………….(см.гр.5).
Перемножив эти варианты на соответствующие им веса ( ), и сложив полученные произведения (см.гр. 6), найдем среднюю величину новых вариантов:
…………………………………………………...
Следовательно, …………………………………………………….
Результат вычислений по способу моментов совпадает с результатам вычислений, полученным по средней арифметической взвешенной, однако использование этого способа значительно облегчило расчет средней величины.
Значительно
упрощаются расчеты средней по способу
моментов, если вариационный ряд с равными
интервалами. В этом случае нет необходимости
находить середину каждого интервала,
ни величины (
), так как новые варианты
могут быть получены чисто механически,
без специальных расчетов. При равных
интервалах как середины интервалов
(см.гр.2), так и разности (
) отличаются друг от друга ровно на
величину интервала. Следовательно,
после деления этих разностей на величину
интервала, значения соседних между
собой новых вариантов будут отличаться
друг от друга на единицу. Поэтому для
получения новых вариантов ( см.гр. 4 )
достаточно против одного из центральных
интервалов поставить нуль и механически
писать вверх от него ряд натуральных
чисел со знаком минус, а вниз - со знаком
плюс. При этом условным началом отсчета
(
) будет середина того интервала, против
которого в графе
написан нуль, а
будет
равно величине интервала.
4. В статистической практике нередко возникает необходимость определения средней величины для всей совокупности (общей средней) по данным о средних для отдельных частей этой совокупности (групповых или частных средних).
Общая средняя равна средней из групповых средних, взвешенных по численности соответствующих частей общей совокупности, то есть:
,
где
- общая средняя;
-
групповые средние;
-
численности частей совокупности.