6.4 Метод відображення стоків і джерел

Якщо контур живлення пласта чи якась непроникна границя знаходяться на невеликій відстані від свердловини, то разом з методами стоків і джерел та суперпозиції використовують також метод відображення стоків і джерел. Це зумовлено необхідністю виконання граничних умов.

Суть методу відображення полягає в такому:

1) щоб урахувати вплив розміщеного поблизу свердловини прямолінійного контура живлення на її дебіт, свердловину дзеркально (на такій самій відстані) відображають у даному контурі в таку саму свердловину з питомою витратою, однаковою за величиною, але протилежною за знаком;

2) щоб урахувати вплив розміщеної поблизу свердловини прямолінійної непроникної межі на її дебіт, свердловину дзеркально відображають у даній межі в таку саму свердловину з питомою витратою, однаковою за величиною і знаком, а відтак в обох випадках розглядають одночасну роботу реальної (дійсної, вхідної) і відображеної (фіктивної) свердловин.

Розглянемо обгрунтування і застосування обох випадків методу відображення.

1. Нехай маємо свердловину з питомою витратою +q у нескінченному пласті з прямолінійним контуром живлення, на якому підтримується постійний потенціал Ф_к (рис. 6.5). Якщо пласт був би нескінченим і в ньому була б єдина свердловина, то потенціал у будь-якій точці визначався б формулою (6.5). Щодо розглянутого пласта формула (6.5) задовольняє умову на контурі свердловини (Ф_с = const для r = r_c), але не задовольняє умову на контурі живлення, бо за різних значин відстані r до осі у дає змінні значини потенціалу Ф, коли має бути Ф = Ф_к = const.

З допомогою методу відображення вдається досягнути виконання умови Ф_к =  . Для цього дзеркально на відстані відображаємо свердловину і маємо дві свердловини (видобувну і нагнітальну) в безмежному пласті. Результуючий потенціал довільної точки згідно з методом суперпозиції

. (6.18)

Тоді знаходимо, що для r₁ = r₂ потенціал Ф = с = Ф_к = const, а для довільної точки

. (6.19)

З формули (6.19) випливає, що рівняння еквіпотенціалей (ліній рівних потенціалів) має вигляд:

. (6.20)

Якщо виразити відстані і через декартові координати довільної точки М (x, y) і координати центрів свердловин А (a, 0) і А′ (-a, 0) за теоремою Піфагора у вигляді:

; (6.21)

, (6.22)

то рівняння еквіпотенціалей (6.20) у декартових координатах запишеться так:

(6.23)

або після перетворень у вигляді канонічної форми рівняння кола

. (6.24)

Отже, еквіпотенціалі є колами радіуса з центрами в точці .

Змінюючи значину константи с, одержимо ряд еквіпотенціалей – кіл різних радіусів і з центрами, що розміщені вздовж осі x (див. пунктирні лінії на рис. 6.5). Еквіпотенціаль, радіус якої дорівнює нескінченності, вироджується в пряму і являє собою прямолінійний контур живлення.

Можна показати, що лінії течій є колами, що проходять через центри обох свердловин, а їхні центри розміщені вздовж прямолінійного контура живлення (див. суцільні лінії на рис. 6.5). Нагадаємо, що лінії течій є перпендикулярними еквіпотенціалям (ізобарам).

Для визначення питомої витрати стоку біля прямолінійного контуру живлення помістимо довільну точку M на контур дійсної свердловини , тобто

, (6.25)

звідки

, (6.26)

де 2а – відстань між реальною і відображеною свердловинами.

Якщо контур живлення був би колом радіуса a, то дебіт згідно з (6.9)

. (6.27)

Оскільки в реальних умовах форма контура живлення може бути невідомою, але міститься між колом і прямою лінією, то дебіт свердловини знаходитиметься в межах

. (6.28)

Відношення меж дебіту для (a = 10000 м; м) дорівнює . Це дає змогу зробити висновок про те, що для практичних розрахунків важливіше знати відстань до контура живлення пласта, ніж його форму.

Вище ми показали, що еквіпотенціалі є колами. Будь-яке з цих кіл-еквіпотенціалей можна вибрати за коловий контур живлення (див. потовщену лінію-еквіпотенціаль на рис. 6.5.). Тоді дістаємо задачу припливу до свердловини, що ексцентрично розміщена в круговому пласті, для якого радіус контура живлення , а координата центра Ексцентриситет розміщення свердловини . Вважатимемо відомими радіус , ексцентриситет δ і потенціал Ф_к на цьому коловому контурі. Потенціал у довільній точці як на колі радіуса , так і в будь-якій іншій точці виражається формулою (6.18). Для знаходження дебіту цієї ексцентрично розміщеної свердловини використовуємо граничні умови, тобто поміщаємо довільну точку на коловий контур у точку M', для якої

, , (6.29)

і на контур свердловини, для якого

. (6.30)

Тоді згідно з формулою (6.18) записуємо:

, (6.31)

звідки

. (6.32)

Щоб виключити невідому величину a, скористаємося очевидною умовою, що

, (6.33)

а це можливо за умови, коли

(6.34)

або

, (6.35)

звідки маємо:

_(6.36)

Зазначимо, що тут можна було б використати відомий з математики закон інверсії, який визначає розміщення точки, відображеної у коловому контурі, добуток відстаней до реальної і відображеної точок від центра кола дорівнює квадрату радіуса кола, в якому здійснено відображення, тобто

. (6.37)

Підставляючи вираз (6.36) у рівняння (6.32), дістаємо формулу дебіту свердловини, ексцентрично розміщеної в круговому пласті

. (6.38)

У разі з формули (6.38) знаходимо відому формулу Дюпюї (6.9). Із формули (6.38) випливає, що дебіт ексцентрично розміщеної свердловини завжди є більшим від дебіту центрально розміщеної свердловини. Але для (це переважно має місце на практиці) і для немає практично ніякої різниці у значинах дебіту ексцентричної та центральної свердловин. Тобто у вказаних межах з достатньою точністю можна використовувати формулу Дюпюї, нехтуючи ексцентриситетом δ розміщення свердловини.

2. Далі розглянемо другий випадок методу відображення, коли свердловина розміщена поблизу прямолінійної непроникної межі (рис. 6.6). Під непроникною межею в реальному пласті розуміють екранувальну поверхню тектонічного порушення, різкого літологічного заміщення колектора непроникними породами і таке інше.

Для виконання умови непроникності межі відображаємо задану свердловину дзеркально в цій межі і розглядаємо роботу двох свердловин. Розмістимо довільну точку M на вісь y. Результуюча швидкість  напрямлена вздовж осі y: тобто через вісь y рух рідини відсутній, а, отже, умова непроникності межі виконується.

Згідно з методом суперпозиції

, (6.39)

а використовуючи граничні умови, маємо:

(6.40)

де 2σ – відстань між реальною і відображеною свердловинами.

Звідси одержуємо формулу дебіту свердловини поблизу непроникної прямолінійної межі:

, (6.41)

або

.

Якщо б не було непроникної межі, то дебіт виражався б формулою (6.9). Отже, близкість розміщення непроникної межі викликає зменшення дебіту свердловини.

Цей висновок можна поширити й на інші випадки розміщення непроникної межі, які в якості прикладу показано на рис. 6.7 із схемою відображення.

На закінчення зазначимо, що розглядаючи ці задачі в протилежній постановці як взаємодію видобувної та нагнітальної свердловин, а також як взаємодію двох видобувних свердловин, дійдемо до обгрунтування методу відображення і до його природності.