Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.6. Теория рядов Задание 42. Разложение функций в ряд Маклорена – 1 ч.

Цель: формирование умения разлагать элементарные функции в ряд Маклорена и применять данные разложения для вычисления приближённых значений выражений.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 42.1. Выучите определение ряда Маклорена для функции. Запомните, как в этом случае будет называться функция. Разберите пример и выясните, как найти конкретный член ряда Маклорена для функции.

42.2. Ряд Маклорена для функции имеет вид:

. Найдите:

а) третий член ряда Маклорена для функции ;

б) четвёртый член ряда Маклорена для функции .

 42.3. Проанализируйте, при каких условиях ряд Тейлора (Маклорена) будет сходиться к порождающей функции. Выясните, какова техника разложения функции в ряд Тейлора (Маклорена). Постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий разлагать функцию в ряд Маклорена на примере функции .

42.4. Разложите функцию в ряд Маклорена.

 42.5. Запомните известные разложения некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Выясните, какие преобразования известных разложений позволяют получать новые разложения функций в ряд. Внимательно изучите технику получения подобных разложений на примере функций и .

42.6. Используя известное разложение в ряд Маклорена элементарных функций, представьте в виде ряда:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

 42.7. Выясните, как разложение функции в ряд Маклорена позволяет найти приближённое значение выражения.

42.8. Используя известное разложение функции в ряд Маклорена, и ограничиваясь заданным числом первых членов ряда, найдите приближённое значение выражения:

а) (два первых члена ряда); б) (три первых члена ряда).

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Ряд для функции в точке =0 называется рядом Маклорена.

Если функция имеет в точке производные любого порядка, то для неё можно составить ряд Маклорена. При этом функция называется порождающей функцией для соответствующего ряда.

Пример 1. Найдите третий член ряда Маклорена для функции .

Решение. Третий член ряда Маклорена для функции имеет вид . Для его нахождения вычислим вторую производную функции в точке =0:

1. найдём : = ;

2. найдём : = ;

3. найдём : = .

Подставим в выражение , получим: . Таким образом, третий член ряда Маклорена для функции равен .

Ответ: .

Формально ряд Тейлора (Маклорена) можно построить для любой бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки . Но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции . Условия, при которых ряд Тейлора (Маклорена) сходится к порождающей функции, изложены в теореме.

Теорема: Если все производные функции ограничены в некоторой окрестности точки ( =0) одним и тем же числом, то для любого x из этой окрестности ряд Тейлора (Маклорена) для функции сходится к данной функции, т.е. имеет место разложение ( = ).

Для разложения некоторой функции в ряд Маклорена удобно использовать следующий алгоритм:

1. вычислить значения функции и всех её производных при =0;

2. составить ряд Маклорена для функции :

;

3. проверить выполнение условий теоремы о разложении функции в ряд (доказать, что все производные функции ограничены в некоторой окрестности точки =0 одним и тем же числом);

4. записать разложение функции в ряд Маклорена:

= .

Рассматривая разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций, ограничимся рядами, которые чаще всего используются на практике.

Пример 2. Разложите функцию в ряд Маклорена.

Решение. Для разложения функции в ряд Маклорена воспользуемся алгоритмом. 1) Найдём значения функции и последовательно её производных в точке =0:

1. : = ;

2. : , ;

3. : , ;

4. : , ;

5. Поскольку для функции , то .

2) Составим для функции ряд Маклорена, подставив найденные значения в формулу ряда Маклорена :

=

3) Проверим выполнение условий теоремы о разложении функции в ряд: для данного x найдём интервал , содержащий число x, и обозначим . Тогда для любой производной функции имеем . Таким образом, все производные функции в некоторой окрестности =0 ограничены одним и тем же числом М. Значит, условия теоремы выполнены, и функция может быть разложена в ряд.

4) Запишем разложение функции в ряд Маклорена: .

Ответ:

Аналогичным образом можно получить разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций, которые рекомендуется запомнить:

1)

2)

3) биномиальный ряд (бином Ньютона):

4)

5)

6)

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена можно получить, выполняя те или иные преобразования над уже имеющимися разложениями. К таким преобразованиям относятся замена переменной, сложение, вычитание, умножение, дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Рассмотрим примеры получения подобных разложений.

Пример 3. Используя известные разложения, разложите в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся известным разложением в ряд функции :

Заменим в данном разложении на , получим:

Таким образом,

Ответ:

Пример 4. Разложите в ряд Маклорена функцию .

Решение. Функция представляет собой произведение на , поэтому для её разложения в ряд Маклорена воспользуемся разложением функции :

Заменим в этом разложении на , получим:

= ;

=

Умножим разложение на :

= ( )

Таким образом, =

Ответ: =

Разложение функций в ряд Маклорена находит широкое практическое применение в вопросах приближённого вычисления значений функций.

Пусть требуется вычислить значение функции при с заданной точностью. Если функцию в интервале можно разложить в степенной ряд , и , то точное значение равно сумме этого ряда при , т.е. = , а приближённое – частичной сумме , т.е. = . Точность этого равенства увеличивается с ростом n.

Пример 5. Найдите приближённое значение выражения с точностью до 0,0001, используя известные разложения функций в ряд Маклорена.

Решение. Воспользуемся известным разложением в ряд Маклорена функции : Поскольку = , подставим в данное разложение вместо x 0,04, получим = = Так как мы имеем знакочередующийся ряд, то при замене его суммы некоторой частичной суммой абсолютная погрешность не превышает модуля первого отброшенного члена. Непосредственной проверкой убеждаемся, что , следовательно, достаточно ограничиться двумя первыми членами разложения: .

Ответ: .

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский. - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 10, п.10.3, стр. 259 – 262.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 13, § 82, стр. 446-455, § 83, стр. 457 - 458.