Решение Определим амплитудное значение тока в цепи

Разность фаз φ между фазой напряжения φ_e и фазой тока φ_i, т.е. φ = φ_е-φ_i определим по формуле

φ = arctg = arctg = 45^o.

Фаза тока φ_i определяется как φ_i = φ_е – φ = 0 - 45^o. С учетом этого записываем выражение для мгновенного выражения тока в цепи

i(t) = I_m cos (t + φ_е ) = 1,41 cos (10³t - 45^o).

Это означает, что фаза тока в цепи отстает от фазы напряжения на 45^о.

5

1.10. К цепи, состоящей из последовательно соединенных сопротивления R = 5 Ом, индуктивности L = 0,1 Гн и емкости С = 0,01 мкФ, приложено напряжение U = 10 сos(314 t + 20^о) В.

Найти мгновенное значение тока в цепи, а также действующие значения напряжений на индуктивности U_L, емкости U_C и сопротивлении U_R.

Решение Определим максимальное значение тока в цепи

Угол сдвига фаз между током и напряжением определим по формуле

φ = arctg = arctg = arctg =

= arctg

Фазу тока в цепи определим по формуле φ = φ_u - φ_i , т.е.

φ_i = φ_u – φ = 20^o – (-89^o) = 109^o .

Подставляя полученное значение фазы тока в выражение для мгновенного значения тока, получим, что

i(t) = I_m cos (t + φ_i ) = 34.8 cos (314 t + 109^o) мА.

Действующие значения напряжений на сопротивлении, индуктивности и емкости определяются как

6

U_R =

U_L = .

U_C =

1.11. Напряжение на зажимах сопротивления R=3,63 Ом и индуктивности L = 0,02 Гн, соединенных параллельно u = ·120 cos(314t-π/3). Вычислить полную проводимость цепи и действующие значения токов в R и L. Записать выражение для суммарного гармонического тока.

Решение

Вычислим полную проводимость цепи

.

Определим действующие значения токов в R и L, т.е.

Для записи выражения суммарного гармонического тока определим вначале угол сдвига фаз между напряжением и током

7

Из выражения φ = φ_u - φ_i определим фазу тока φ_i, т.е.

φ_i = φ_u – φ = -π/3 – π/6 = -π/2.

Максимальное значение суммарного тока будет равно

I_m = U_mY = · 120 · 0,318 = 53,8 A.

И окончательно, выражение для суммарного гармонического тока с учетом предыдущих вычислений запишем в виде

i(t) = I_mcos(ωt + φ_i) = 53,8cos (ωt -π/2) A.

Практическое занятие № 2 Тема занятия: « Применение метода комплексных ампли- туд к расчету электрических цепей»

Литература: [1, С.15-17], [2, С.70-85; С.96-101], конспект

лекций.

Домашнее задание

Изучите по конспекту лекций и литературе материал по следующим пунктам:

1. Запись комплексных чисел. Вращающийся вектор на комплексной плоскости. Основные правила записи гармонического сигнала в комплексной форме. Переход от комплексной записи к обычной.

2. Законы Ома для L, C, R в комплексной форме. Понятие комплексного сопротивления цепи и его отличие от обычного сопротивления.

3. Закон Кирхгофа в комплексной форме. Последовательное и параллельное соединение R, L, C.

4. Комплексная форма записи мощности в цепи.

8

Решить задачи:

2.1. Произвести вычисления:

а) 10ej³⁰ + 5ej⁶⁰, б) 10ej³⁰ - 5ej⁶⁰, в) (8,66 + j5)(3,53 + j353), г) (8,667 + j5): (8,5 + j4,33), д)(5 + j3)².

2.2. Используя формулу Эйлера e^±jφ = cosφ ± jsinφ, показать что j = e^jπ/2 , -j = e ^-jπ/2, -l = e ^±jπ.

2.3. Используя комплексный метод расчета, вычесть напряжение 5sinωt из напряжения 10cosωt.

Ответ: u(t) = 11,2cos(ωt + 26,6^o).

2.4. Определить u(t), если комплексная амплитуда напряжения задана в виде Um = -12 + j10 B.

Ответ : u(t) = 15,6cos (ωt + 140,2^o).

2.5. Напряжение изменяется по закону

u(t)=-10cos(ωt+π/4). Записать временную зависимость напряжения в комплексной форме.

Ответ: U_m = 10e^-j3π/4.

2.6. К цепи, состоящей из R = 20 Oм, L = 100 мГн и C = 50 мкФ, соединенных последовательно, приложено напряжение u = 14,14sin377 B.

Вычислить комплексные ток и напряжение на R, L, C.

Ответ: I_m = 0,561e^-j52,6° A, U_mR = 11,2 e^-j52,6° B,

U_m2 = 21,15e^j37,4° , U_mc = 29,7 e^-j142,6° B.

2 .7. Вычислить комплексное значение тока в цепи источника напряжения в схеме

Рис. 2.1

9

с учетом, что e (t) = 15cos314t B, R = 10 Oм, L = 0,1 Гн.

Ответ: I_m =1,59e^-j17,7° A.

Подготовиться к ответам на вопросы:

1. Из каких частей состоит комплексное число А?

2. Какие формы представления комплексных чисел известны? Какая из форм записи наиболее удобна при сложении, вычитании, умножении и делении комплексных чисел?

3. Как перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной форме?

4. Запишите правила перехода от временной формы записи гармонического сигнала к комплексной.

5. Поясните понятие «комплексная амплитуда гармонического колебания». Какую она содержит в себе информацию?

6. Поясните понятие «оператор вращения». Какую информацию он содержит?

7. Сформулируйте правило записи временной зависимости гармонического колебания по известной комплексной амплитуде.

8. Как используя метод комплексных амплитуд, найти сумму (разность) двух гармонических колебаний?

9. Что такое «комплексное сопротивление» и «комплексная проводимость» цепи?

10. Дайте физическую интерпретацию величины j в комплексном сопротивлении индуктивности.

11. Дайте физическую интерпретацию величины –j в комплексном сопротивлении емкости.

12. Справедливы ли законы Кирхгофа для комплексных амплитуд?

13. Дайте определение понятию «комплексная мощность». Каков физический смысл этого понятия?

10

Примеры решения задач

2.8. Определить i(t), если комплексная амплитуда тока задана в виде I_m = -10-j5 A.

Решение.

Используя равенство –1 = e ^±jπ, представим комплексные значения тока как

I_m = -(10 + j5) = e^-jπ =

= e^-jπ ·11,2·e^j26,6˚ = 11,2ej (26,6˚ - 180˚) = 11,2e^-j153,4˚.

Для записи i(t) воспользуемся правилом перехода от комплексной формы записи гармонического колебания к временной, т.е.

i(t) = Re{I_m^-ejωt},

таким образом, имеем, что

i(t) = Re{11,2e^-j153,4˚ e^jωt} = Re{11,2e^{j(ωt-153,4˚)}}=

=Re{11,2·cos(ωt –153,4˚) + jsin(ωt –153,4˚)}=11,2(ωt –153,4˚)

Ответ: i(t) = 11,2(ωt –153,4˚).

2.9. Сложить токи i₁= 10sinωt и i₂ = 10cos(ωt + π/4).

Решение.

Представляем выражения для токов в комплексной форме

i₁ = 10cos(ωt –90˚), I_1m = 10e^-j90˚,

I_1m = 10cos90˚ - j10sin90˚ = -j10˚,

i₂ = 10cos(ωt + π/4), I_2m =10e^j45˚,

I_2m = 10cos45˚ + j10sin45˚ =7,07 + j7,07.

Произведем сложение токов

I_m = I_1m +I_2m = -j10 +7,07 +j7,07 = 7,07- j2,97 =

= =7,67e^-j22,8˚.

11

Преобразуем комплексную запись тока в тригонометрическую

i(t) =Re{7,67e^-j22,8˚ · e^jωt} = Re{7,67e^{j(ωt -22,8}˚ }=

= Re{7,67cos(ωt –22,8˚)+ j7,67sin(ωt –22,8˚)}=7,67cos(ωt–22,8˚).

Ответ: 7,67cos(ωt –22,8˚).

2.10. Вычислить комплексное значение тока в цепи источника напряжения в схеме

Рис. 2.2

с учетом, что e(t)=20cos314t B, R₁=10 Oм, R₂=100 Oм, С = 100 мкф.