Метод половинного деления
Пусть на этапе
отделения корня найдены два последовательных
значения функции
и
имеющие
противоположные знаки.
Затем по формуле
вычисляется значение
в интервале
и находится значение функции
.
Если знак
совпадает со знаком
то в дальнейшем вместо
используется
.
Если же
имеет знак, совпадающий со знаком
,
то на
заменяется это значение функции. В
результате одной итерации ширина
интервала, в котором расположен корень,
изменяется в два раза. Итерационный
процесс прекращается если
,
где
- наперед заданная величина точности
вычисления корня. Может быть также
использовано условие окончания процесса
уточнения корня вида
6.5
Метод хорд (ложного положения)
В основе метода лежит линейная интерполяция по двум значениям функции, имеющим противоположные знаки.
Пусть на этапе
отделения корней найдены последовательные
значения функции
и
,
имеющие противоположные знаки. Прямая,
проведенная через эти две точки,
пересекает ось X при
значении
,
определяемом по формуле
Затем вычисляется
значение функции
,
которое сравнивается со значениями
функции
и
.
На следующей итерации
используется вместо того из них, с
которым совпадает по знаку. Процесс
уточнения прекращается, если выполняется
условие
Метод касательных (Ньютона-Рафсона)
Данный метод широко используется при построении итерационных алгоритмов. Это обусловлено тем, что на этапе отделения корня не обязательно находить интервал, на котором заключен корень. Достаточно задать некоторое начальное значение . Это возможно по той причине, что в методе Ньютона-Рафсона осуществляется экстраполяция с помощью касательной к кривой в данной точке. Затем, начиная о начального приближения , осуществляется процесс уточнения значения корня. Вычисление уточнённого значения корня производится по формуле
, 6.6
где
значение первой производной
в точке
.
Если полученное
значение
больше
,
то вся процедура повторяется, но при
этом вместо
используется значение
.
Необходимо отметить следующие особенности метода:
быстрота сходимости в большой степени зависит от удачного выбора значения ;
метод не всегда обеспечивает сходимость, поэтому необходимо задавать допустимое число итераций;
выражение для
может оказаться слишком сложным.
Метод секущих
Этот метод аналогичен методу Ньютона-Рафсона. В нем используется итерационная формула вида
в которой в отличие от формулы (6.6) вместо, вычисления значения производной используется некоторое ее приближение, определяемое выражением
При этом, однако,
возникает проблема с вычислением первого
приближения. Обычно полагают, что
Метод простой итерации (последовательных приближений)
Для применения этого метода уравнение (6.1) представляется в виде
6.7
соответствующая
итерационная формула имеет вид
,
где
-вычисленное на предыдущей итерации
уточнение значения корня. Процесс
уточнения так же, как и в методах секущих
и касательных начинается с некоторого
заданного начального приближения
.
Простота метода делает его привлекательным, но он обладает тем недостатком, что не всегда обеспечивает сходимость. Поэтому в программе, использующей этот метод, всегда должен быть контроль сходимости. Необходимо также отметить тот факт, что исходное уравнение (6.1) можно преобразовать к виду (6.7) различными путями. При этом для одного и того же исходного уравнения (6.1) можно получить различные выражения вида (6.7), для которых итерационный процесс различается сходимостью.
Если итерационны
процесс сходится, то его окончанию
соответствует выполнение условия
.