Лабораторная работа № 14 Тема: Интерполяционные многочлены Ньютона

Цель работы: Построить интерполяционные многочлены Ньютона и определить значения функции в точках, отличных от узлов интерполирования.

1. Теоретические сведения

При построении интерполяционного многочлена Лагранжа узлы интерполирования могут выбираться произвольно. Предположим, что узлы равноудалены друг от друга, т.е. х_i = x₀ + ih и заданы значения функции в этих узлах y_i = f(x_i).

Можно построить интерполяционный многочлен степени n в виде

(1)

Многочлен должен проходить через узлы интерполирования, т.е.

= y_i = f(x_i) (i = 1,2, ………..n).

Примем

х = х₀ ; = y₀ = а₀ . Отсюда а₀ = y_{0 .}

х = х₁; = y₀ + а₁h, где

Аналогично можно получить значения и остальных коэффициентов многочлена ( )

; …………………. .

, ,…………. - конечные разности до n-ого порядка.

В общем случае конечные разности можно представить

(i = 1,2, ………..n-1).

= (i = 1,2, ………..n-1) и разность порядка к

…………………………………….

(i = 1,2, ………..n-1).

Последовательные конечные разности обычно располагаются в виде таблицы.

Например, для y_i = f(x_i) (i = 1,2, 3,4,5).

x	y
х0	у0
х1	у1
х2	у2
х3	У3
х4	у4
х5	у5

Если в интерполяционный многочлен ( ) подставить значения коэффициентов ( ), то будет получен первый интерполяционный многочлен Ньютона.

(2)

Введем обозначение . Тогда многочлен примет вид

(3)

Этот многочлен используется для интерполирования функции в окрестности начального значения х₀ , т.е. для интерполирования вперед и экстраполирования назад.

Порядок многочлена при неограниченной таблице значений функции может быть любым. Практически он выбирается так, чтобы конечная разность была постоянной с заданной степенью точности. Если таблица значений функции ограничена, то порядок многочлена не превышает числа значений функции, уменьшенного на единицу.

Для интерполирования вблизи конца таблицы, т.е. интерполирования назад и экстраполирования вперед, применяется второй интерполяционный многочлен Ньютона.

, (4)

где ,

- конечные разности до n-ого порядка. В приведенной таблице это последняя строка.

Погрешности многочленов Ньютона (остаточный член) может быть получен на основании остаточного члена многочлена Лагранжа

(5)

2. Порядок выполнения работы

1. Построить интерполяционный многочлен Ньютона для заданной функции и найти ее значение в заданных точках, используя программу из приложения.

2. Показать, какие многочлены Ньютона были использованы при каждом заданном значении аргумента.

3. Из лабораторной работы № 11 для функции из второго задания взять результат и сравнить его с результатом, полученным при использовании многочлена Ньютона при таком же значении аргумента.

4. Оценить полученные результаты.