Формалізація завдання.
Нехай хi - кількість дощок, викроює i-м способом (i = 1 ... n, де n - загальна кількість способів розкрою (в нашому випадку - чотири).
Тоді кількість деталей довжиною 1,8 м одне: 2x1 + 1x2 + 0x3 +0 x4. За умовою ця величина повинна бути не менше 80 шт, тобто.
2x1 + 1x2 + 0x3 +0 x4 ≥ 80.
Обмеження на кількість деталей довжиною 1,4 м:
0x1 + 1x2 + 2x3 + 0x4 ≥ 120.
Обмеження на кількість деталей довжиною 1 м:
0x1 + 0x2 +1 x3 + 4x4 ≥ 40.
За умовою потрібно мінімізувати відходи. Для цього потрібно розрахувати кількість відходів при кожному способі розкрою.
Кількість відходів з кожної дошки довжиною 4 м при першому способі розкрою становить (4 - (1,8 ∙ 2 + 1,4 ∙ 0 + 1 ∙ 0)), з усіх дощок, викроює першим способом x1 ∙ (4 - (1, 8 ∙ 2 + 1,4 ∙ 0 + 1 ∙ 0)), тобто 0,4 x1.
Відходи при другому способі розкрою складуть 0,8 x2, при третьому - 0,2 x3, при четвертому - 0x4.
Цільова функия має вигляд:
F = 0,4 x1 + 0,8 x2 + 0,2 x3 + 0x4 → min.
Так як x1, x2, x3 і х4 - кількість дощок, то вони невід'ємні і цілі.
Отримали математичну модель завдання:
F = 0,4x1 + 0,8x2 + 0,2x3 + 0x4 → min,
x1 0, x2 0, x3 0, x4 0.
Робочий лист Excel з вихідними даними та з формулами на рисунку 18, 19.
Рис. 18. Вихідні дані.
Рис. 19. Лист з формулами
На малюнку 20 представлено вікно Пошук рішення для розв'язання задачі на розпил матеріалу.
Рис. 20 Вікно «Пошук рішення»
Результати виконання команди «Пошук рішення» представлений на рис. 21
Рис. 21. Результати
Вирішивши завдання за допомогою пакета Excel, отримали: x1 = 20, x2 = 40, x3 = 40, x4 = 0, F = 48.
Економічний висновок
Оптимальний план розкроювання такий:
за першим способом розкрою потрібно розкроїти 20 дощок,
по другому способу розкрою потрібно розкроїти 40 дощок,
по третьому способу - 40 дощок.
Четвертий спосіб розкрою не використовується.
Таким чином, для необхідної кількості комплектів в розмірі 40 шт. потрібно розкроїти 100 дощок. При цьому сумарні відходи будуть мінімальними і складуть 48 м.
Завдання для самостійного виконання
Вирішити задачу лінійного програмування.
Звіт повинен містити наступні розділи:
1 Умова задачі.
2 Формалізація завдання.
3 Роздруківку завдання за допомогою пакета Exсel.
4 Економічний висновок.
Варіант 1
З труб довжиною 25 м потрібно нарізати труби довжиною 8, 12 і 16 м в кількості 100, 50 і 30 відповідно. Визначити план розкрою з мінімальними відходами, порізаний не більше 80 труб.
Варіант 2
Смуги матеріалу довжиною 3 м кроятся на деталі довжиною 1,6; 1; 0,8 м, які входять в комплект у кількості 2, 1 і 4 штуки відповідно. Визначити план розкрою з мінімальними витратами, якщо в наявності 60 смуг матеріалу і потрібно дотримати комплектність.
Варіант 3
Скласти суміш із заданими характеристиками: вміст речовини В1 - не менше 41,2%, речовини В2 - від 45 до 60%. Використовується два види сировини, процентний вміст речовин В1 і В2 в яких задано таблицею
Таблиця
Речовина
Сировина |
В1 |
В2 |
В3 |
1 |
52 |
25 |
23 |
2 |
16 |
75 |
9 |
При складанні суміші можна використовувати також речовину В1 в чистому вигляді. Вартість 1 т сировини 1-го виду становить 3 у. е., сировини 2-го виду - 6 у. е., речовини В1 - 5 у. е. Потрібно отримати 1 т суміші мінімальної вартості.
Варіант 4
У сплав має входити не менше 4% нікелю і не більше 80% заліза. Для складання сплаву використовують три види сировини, що містить нікель, залізо та інші речовини. Крім того, в сплав можуть додаватися в чистому вигляді нікель, залізо та інші речовини. Вартість сировини і процентний вміст у ньому компонентів сплаву представлені в таблиці Таблиця
Компоненти сплава |
Види сировини |
|||||
1 |
2 |
3 |
Ni |
Fe |
Інша |
|
Ni |
70 |
90 |
85 |
100 |
— |
— |
Fe |
5 |
2 |
7 |
|
100 |
— |
Інші |
25 |
5 |
8 |
— |
— |
100 |
Вартість 1 кг |
6 |
4 |
5 |
25 |
67 |
2 |
Потрібно скласти сплав таким чином, щоб вартість 1 кг сплаву була мінімальною.
Варіант 5
З 100 труб довжиною 20 м потрібно отримати 10 комплектів, у кожний з яких входять 4 труби довжиною 9 м, 5 труб по 8 м і 3 труби по 7 м. Визначити план розкрою з мінімальними відходами.
Варіант 6
Для виготовлення брусів трьох розмірів (0,6; 1,5 і 2,5 м в співвідношенні 2: 1: 3) на розпил надходять колоди довжиною 3 м. Визначити план розпилу, що забезпечує мінімальні відходи, якщо потрібно отримати 30 комплектів.
Варіант 7
Провести розпил 5-метрових колод на бруси розмірами 1,5; 2,4; і 3,2 м відносно 5: 4: 2 так, щоб мінімізувати загальну величину відходів і отримати 20 комплектів.
Варіант 8
У цеху є дошки довжиною 5 м. Потрібно отримати 50 комплектів деталей, в кожен з яких входить 2 деталі по 2 м, 3 деталі по 3 м і 1 деталь довжиною 1 м. Скласти план розкрою з мінімумом відходів.
Варіант 9
Двом навантажувачів різної потужності за 24 год потрібно погрузити на першій площадці 230 т, на другій - 168 т. Перший навантажувач на першій майданчику може пгрузити 10 т / год, на другій - 12, другий на кожному майданчику може погрузити по 13 т / год.. Вартість робіт, пов'язаних з навантаженням 1 т перший навантажувач на першій площадці, становить 8 у. е., на другій 7 у. е., другим навантажувачем на першому майданчику 12 у. е., на другому 13 у. е.
Потрібно скласти план робіт, тобто визначити, який обсяг робіт повинен виконувати кожен навантажувач на кожному майданчику, щоб вартість робіт з навантаження була мінімальною. Причому з технічних причин перший навантажувач на другому майданчику повинен працювати не більше 16 ч.
Варіант 10
Підприємство має дві машини, кожна з яких може виконувати будь-яке з 2-х видів виробів: А та В. Час на виробництво одного виробу на кожній машині, а також ресурс часу кожної машини задані в таблиці
Продукція
Обладнання |
Витрати часу на 1 виріб |
Фонд часу |
|
А |
В |
||
1 |
1 |
2 |
130 мин. |
2 |
2 |
1 |
60 мин. |
Заданий план виробництва: 50 виробів А і 70 виробів В. Потрібно так розподілити завантаження машин, щоб за умови суворого виконання плану час, що витрачається машинами на його виконання, був мінімальним.
Варіант 11
Підприємство має в своєму розпорядженні ресурси сировину, робочу силу та обладнання, необхідні для виробництва будь-якого з 4 видів вироблених товарів. Витрати ресурсів на виготовлення одиниці даного виду товарів, прибуток, одержуваний підприємством, а також запаси ресурсів вказані в таблиці
Вид товару Вид ресурсу |
1 |
2 |
3 |
4 |
Об’єм ресурсів |
Сировина, кг |
3 |
5 |
2 |
4 |
60 |
Робоча сила, люд.год |
22 |
14 |
18 |
30 |
400 |
Обладнання, машина год |
10 |
14 |
8 |
16 |
128 |
Прибуток на одиницю товару |
30 |
25 |
56 |
48 |
|
Визначити оптимальний асортимент продукції при додатковій умові: 1-го товару випустити не більше 5 одиниць, 2-го - не менше 8 одиниць, а 3-го і 4-го - у відношенні 1: 2.
Варіант 12
Потрібно зробити 300 тис. т продукції. Існує чотири варіанти її випуску. Собівартість виробництва і питомі капітальні вкладення по кожному варіанту задані таблицею
|
Варіант |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Питомі капітальні вкладення, грн./т |
120 |
80 |
50 |
40 |
Собівартість, грн/т |
83 |
89 |
95 |
98 |
Визначити інтенсивність використання варіантів з умови мінімуму собівартості, якщо заданий ліміт капітальних вкладень в обсязі 18 млн грн.
Варіант 13
З листового прокату в кількості 400 шт. потрібно викроїти заготовки трьох видів. Один лист завдовжки 84 см можна розрізати на заготовки довжиною 20 см, 35 см і 65 см. В комплекті має бути 8 заготовок 20 см, 5 - 35 см і 2 - 65 см. Визначити, яка кількість аркушів по кожному із способів слід розрізати, щоб отримати потрібну кількість заготовок даного виду при мінімальних загальних відходах.
Варіант 14
На придбання обладнання для нового виробничого ділянки виділено 20 тис. у. е. Обладнання повинне бути розміщено на площі, що не перевищує 72 м2. Підприємство може замовити обладнання двох видів: більш потужні машини типу А вартістю 5 тис. у. е., що займають виробничу площу 6 м2 (з обліками проходів) і дають 8 тис. одиниць продукції за зміну, і менш потужні машини типу Б вартістю 2 тис. у. е., що займають площу 12 м2 і дають за зміну 3 тис. одиниць продукції. Знайти оптимальний варіант придбання обладнання, що забезпечує максимум загальної продуктивності нової ділянки.
Варіант 15
Потрібно скласти суміш, яка містить три хімічних речовини - А, B і С. Відомо, що складена суміш повинна містити речовини А не менше 6 одиниць, речовини B не менше 8 одиниць, речовини С не менше 12 одиниць. Речовини А, В і С містяться в трьох видах продуктів - I, II, III в концентрації, зазначеної в таблиці
Продукти Хім. речовини |
I |
II |
III |
A |
2 |
1 |
3 |
B |
1 |
2 |
1,5 |
C |
3 |
4 |
2 |
Вартість одиниці продуктів I, II, III різна: одиниця продукту I коштує 2 у. е., одиниця II - 3 у. е., одиниця III - 2,5 у. е. Суміш треба скласти так, щоб вартість використовуваних продуктів була найменшою.
Варіант 16
Є склади, запаси на яких відомі. Відомі споживачі і обсяги їх потреб. Необхідно доставити товар зі складів споживачам. Потрібно мінімізувати витрати з перевезення. Всі дані наведені в таблиці
Споживач
Склад |
Споживач |
Запаси на складах |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
||
1 |
2 |
5 |
5 |
5 |
60 |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
80 |
3 |
3 |
1 |
5 |
2 |
60 |
потреби |
50 |
40 |
70 |
40 |
200 |
Варіант 17
Підприємство може працювати за п'ятьма технологічним процесам, причому кількість одиниць продукції, що випускається з різних технологічних процесів за 1 одиницю часу відповідно дорівнює 300, 260, 320, 400 і 450 шт. В процесі виробництва враховуються такі виробничі фактори: сировина, електроенергія, зарплата і накладні витрати.
Витрати відповідних факторів в у. е. при роботі з різних технологічних процесів протягом 1 одиниці часу показані в таблиці
Тех. процес Вироб. фактори |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Обсяг ресурсів |
Сировина |
12 |
15 |
10 |
12 |
11 |
1300 |
Електроенергія |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
0,025 |
0,8 |
30 |
Зарплата |
3 |
4 |
5 |
4 |
2 |
400 |
Накладні витрати |
6 |
5 |
4 |
6 |
4 |
800 |
Знайти програму максимального випуску продукції.
Варіант 18
Є три види ресурсів: I, II і III, які використовуються для виробництва трьох видів продукції: А, Б і В. Норми витрат ресурсів на одиницю продукції кожного виду наведені в таблиці
Ресурс |
Норма витрат на одиницю продукції |
||
А |
Б |
В |
|
I |
1 |
2 |
0 |
II |
2 |
1 |
0 |
III |
0 |
1 |
0 |
У розпорядженні підприємства знаходяться 500 одиниць ресурсу I, 550 одиниць ресурсу II і 200 одиниць ресурсу III. Прибуток від реалізації одиниці продукції А становить 3 у. е., продукції Б - 4 у. е., продукції В - 1 у. е. Визначити оптимальний план виробництва продукції за критерієм максимуму прибутку.
Варіант 19
Меблева фабрика випускає столи, стільці, бюро та книжкові шафи. При виготовленні цих товарів використовується два різних типи дощок, причому фабрика має в наявності 1500 м3 дощок I типу та 1000 м3 II типу. Крім того, задані трудові ресурси в кількості 300 люд.год.
У таблиці наведено нормативи витрат кожного з видів ресурсів на виготовлення 1 одиниці виробу і прибуток на 1 одиницю виробу.
Ресурси |
Витрати на одиницю виробу |
|||
Столи |
Стільці |
Бюро |
Кн. шафи |
|
Дошки I типу, м3 |
5 |
1 |
9 |
12 |
Дошки II типу, м3 |
2 |
3 |
4 |
1 |
Трудові ресурси, люд.год. |
3 |
2 |
5 |
10 |
Прибуток, грн/шт. |
12 |
5 |
15 |
10 |
Визначити оптимальний асортимент, який максимізує прибуток, якщо відношення кількості столів до кількості стільців дорівнює 1: 6.
Варіант 20
Зі складів перевозяться на цегельні заводи пісок. Кількість запасів на складах і потреби заводів наведено в таблиці. Необхідно доставити пісок зі складів на цегельні заводи з мінімальними витратами з перевезення. Всі дані наведені в таблиці.
Споживачі Склад |
Цегельні заводи |
Запаси на складах |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
||
1 |
2 |
5 |
5 |
5 |
55 |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
80 |
3 |
3 |
1 |
5 |
2 |
65 |
Потреби |
45 |
40 |
75 |
40 |
200 |
Варіант 21
Тканина трьох артикулів виробляється на ткацьких верстатах двох типів з різною продуктивністю. Для виготовлення тканини використовується пряжа і барвники. У таблиці вказані потужності верстатів (тис. верстато-год), ресурси пряжі та барвників (тис. кг), продуктивність верстатів по кожному виду тканини (м / год), норми витрат пряжі і фарби (кг на 1000 м) і ціна (у. е.) 1 м тканини.
Види ресурсів |
Обсяг ресурсів |
Продуктивність і норма витрат |
||
|
|
1 |
2 |
3 |
Станки I типу |
30 |
20 |
10 |
25 |
Станки II типу |
45 |
8 |
20 |
10 |
Пряжа |
30 |
120 |
180 |
210 |
Барвники |
1 |
10 |
5 |
8 |
Ціна |
|
15 |
15 |
20 |
Визначити оптимальний асортимент, який максимізує прибуток, якщо собівартість 1 м тканини становить відповідно 3, 5 і 15 у. е.
Варіант 22
Цегельний завод випускає цеглу двох марок (I і II). Для виробництва цегли застосовується глина трьох видів (А, В, С). За місячного плану завод повинен випустити 10 умовних одиниць цегли марки I і 15 умовних одиниць цегли марки П. У таблиці вказані витрата різних видів глини для виробництва однієї умовної одиниці цегли кожної марки і місячний запас глини
Марка |
Кількість глини, яка необхідна для виробництва 1 умовної одиниці цегли |
||
А |
В |
С |
|
I |
1 |
0 |
1 |
II |
0 |
2 |
2 |
Запас глини |
15 |
36 |
47 |
Скільки умовних одиниць цегли різних марок повинен випустити завод понад план, щоб забезпечити найбільший прибуток, якщо відомо, що від реалізації 1 умовної одиниці цегли марки I завод отримує прибуток, що дорівнює 4 у. е., а від реалізації цегли марки ІІ - 7 у. е.?
Варіант 23
У плановому році будівельні організації міста переходять до спорудження будинків типів Д-1, Д-2, Д-3, Д-4. Дані про кількість квартир різного типу в кожному із зазначених типів будинків, їх планова собівартість наведені в таблиці.
Тип будинків Тип квартир |
Д-1 |
Д-2 |
Д-3 |
Д-4 |
Однокімнатні |
10 |
18 |
20 |
15 |
Двохкімнатні: несуміжні суміжні |
40 – |
– 20 |
20 – |
– 60 |
Трьохкімнатні |
60 |
90 |
10 |
– |
Чотирьохкімнатні |
20 |
10 |
– |
5 |
Планова собівартість, у. е. |
830 |
835 |
360 |
450 |
Річний план введення житлової площі становить відповідно 800, 1000, 900, 2000 і 700 квартир зазначених типів. Виходячи з необхідності виконання плану (можливо його перевиконання за всіма показниками), сформулювати завдання мінімізації обсягу капіталовкладень у житлове будівництво на плановий рік.
Варіант 24
Підприємство випускає продукцію трьох видів П1, П2 і П3, використовуючи при цьому три види сировини: С1, С2 і С3, запаси якого обмежені. Витрата сировини кожного виду при виробництві одиниці продукції кожного виду задається в таблиці.
Продукція |
Сировина |
Дохід від продажу продукції |
||
С1 |
С2 |
С3 |
||
П1 |
1 |
3 |
4 |
7 |
П2 |
2 |
2 |
6 |
8 |
П3 |
3 |
1 |
0 |
9 |
Общие запасы |
15 |
22 |
36 |
|
Скласти план випуску продукції кожного виду так, щоб доход підприємств був максимальний.
Варіант 25
На кондитерській фабриці випускається три види карамелі: К1, К2 і К3. Для виробництва карамелі потрібно цукор, патока і повидло. Запаси сировини, витрати сировини на виробництва карамелі і прибуток, одержувана від продажу 1 т карамелі, наведені в таблиці.
Сировина |
Розхід сировини |
Запаси |
||
К1 |
К2 |
К3 |
||
Цукор |
0,7 |
0,5 |
0,6 |
800 |
Патока |
0,3 |
0,2 |
0,4 |
400 |
Повидло |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
250 |
Прибуток |
1000 |
1120 |
1258 |
|
Скласти план випуску карамелі, максимізує прибуток, якщо випуск карамелі К1 повинен бути не менше 150 т.