1.2. Классический и обобщенные континуумы

Под обобщенными континуумами (ОК) в широком смысле этого термина будут пониматься все тела, не описываемые классическими теориями механики сплошной среды (МСС) (и МДТТ – в частности). Заметим, что само название определяет класс тел – это именно континуальные модели. Прежде чем переходить к рассмотрению сути обобщенных континуумов, необходимо сформулировать и попытаться ответить на некоторые вопросы (на первом этапе – общего характера).

Прежде всего – а не плодим ли мы новые сути без нужды (Оккама)? Не есть ли введение ОК желание построить очень сложную для понимания теорию (уже в силу этого вызывающую уважение к ее авторам), с использованием которой в дальнейшем будем получать красивые результаты, объяснить которые не в состоянии ни авторы теорий, ни их последователи? Если же такие теории все-таки необходимы, то для каких процессов и каких сред? Каковы области применимости той или иной теории, что от нее можно ожидать, а чего она в принципе неспособна описать? Каков должен быть предварительный физико-механический анализ, чтобы решить вопрос о необходимости применения ОК и конкретном выборе теории ОК? В случае отсутствия полностью адекватной изучаемому материалу и процессу его деформирования теории ОК каково должно быть направление модификации наиболее близкой для достижения поставленных целей и задач модели ОК?

Конечно, трудно рассчитывать на сиюминутные ответы на все поставленные вопросы, но исследователи, занимающиеся ОК, должны таки ставить подобные вопросы и искать на них ответы.

Рассмотрение в данном параграфе ограничим поликристаллическими металлами и сплавами, для начала – испытывающими только упругие искажения, класс воздействий – только деформационными. Для таких материалов классические континуальные модели, как показано многочисленными экспериментами, в ряде задач (например, при исследовании усталостной прочности) не дают результатов, удовлетворяющих современным запросам техники. Причину исследователи видят в высоких градиентах напряжений (деформаций), являющихся порождением существенной неоднородности материалов (мезо- и микроструктурой). Таким образом, одна из областей, где требуется применение ОК, – это задачи, в которых нельзя пренебрегать градиентами параметров модели (напряжений, деформаций и т.д.). Попутно заметим, что, вероятно, именно поэтому «оселком» для тестирования моделей ОК выбираются примеры типа задачи Кирша (1898) (растяжение бесконечной пластины, ослабленной малым круговым вырезом). Конечно, здесь возникает вопрос: а почему при нынешнем уровне развития вычислительной техники не работать на таких размерах, чтобы градиентами параметров можно было бы пренебречь? Однако даже для не самых сложных задач это может потребовать ресурсов нескольких суперкомпьютеров; кроме того, в ряде задач (например, с сингулярностями) этот путь принципиально неприемлем. Во-вторых, можно придти к таким малым масштабам, что идентификация модели может оказаться весьма проблематичной. В-третьих, как представляется, модели ОК принципиально богаче, чем модели классических континуумов (КлК), поскольку в них присутствуют новые степени свободы, которые не появятся в модели КлК при каком угодно дроблении сетки.

Другой класс проблем, где, как представляется, нельзя обойтись моделями КлК – это задачи, в которых требуется описание микроструктуры материала. К таким проблемам относятся задачи описания текстурообразования, интенсивного пластического деформирования (ИПД) в обработке металлов давлением (в том числе – подготовка материала для сверхпластического деформирования (СПД)), получения субмикрокристаллических материалов, деформирование в режиме сверхпластичности (СП).

Таким образом, в первом приближении получены ответы на первые три вопроса. Чтобы сформулировать ответы на остальные, необходимо ознакомиться с содержанием, основными гипотезами, положениями конкретных теорий, чему посвящено дальнейшее изложение.

Прежде чем рассматривать конкретные теории, следует отметить, что всем моделям ОК присущи одно из двух или оба отличия от КлК, которые мы условно назовем «динамическим» и «кинематическим». Первое из них связано с заменой широко используемой в КлК гипотезой о действии одной части тела на другую только распределенной нагрузкой; иначе говоря, это действие в каждой точке сводится только к вектору напряжений. Вероятно, впервые об этом написал В. Фойгт в своей статье 1887 г. [181]. Он предложил модифицировать гипотезу Коши следующим образом: действие одной части тела на другую (или внешних тел на рассматриваемое тело) в каждой точке воображаемой (или реальной) границы (внутренней или внешней) тела с единичной нормалью n определяется вектором напряжений t_n и вектором моментных напряжений _n.

Конечно, с точки зрения формальной ничто не мешает заменить одну гипотезу другой, тем более, что заменяющая в данном случае шире заменяемой, в определенном смысле поглощает ее. При этом появляется возможность в реальных телах и процессах оценить эффекты, вносимые расширением гипотезы. Однако в физике и механике необходимо добиваться достаточно ясного физического смысла всех вносимых параметров, переменных. Предположим, что рассматриваемое физическое тело представляет собой конгломерат взаимодействующих между собой частиц, причем не важно, какого масштабного уровня, это могут быть и атомы, и молекулы, и субзерна, зерна поликристалла; важно лишь, чтобы для рассматриваемого материала (и процесса деформирования) эти взаимодействия можно было свести к взаимодействию только соседних частиц (по сути, эта гипотеза всегда эксплуатировалась в МСС и весьма правдоподобна) и что эти взаимодействия являются центральными. По сути, речь идет о широко используемой модели «шарики – пружинки». Мысленно введем некоторую поверхность, рассекающую эти связи. Приведем сосредоточенные силы, действующие со стороны частиц с одной из сторон тела (назовем ее «отброшенной), разделенных введенной поверхностью, на частицы второй части к распределенным нагрузкам (вектору напряжений). Если на масштабах, сопоставимых с масштабом осреднения (континуализации), отсутствует корреляция между положением точки на разделяющей поверхности и хотя бы одной из компонент вектора напряжений (или исследователя по роду задачи не интересуют следствия такой корреляции), то распределенные напряжения могут быть приведены на данном масштабе осреднения только к вектору напряжений (конечно, постоянному в каждый момент процесса) на площадке осреднения. В противном случае необходимо или 1) переходить на более низкий масштабный уровень (осреднения), или 2) вводить дополнительные силовые факторы, с достаточной для рассматриваемой задачи полнотой определяющих взаимодействия разделенных частей тела. Заметим, что указанная корреляция в зависимости от микроструктуры материала и процесса деформирования может наблюдаться на одних масштабах и отсутствовать на других; например, на характерных масштабах, сопоставимых с размерами зерен и субзерен, такая корреляция скорее всего будет иметь место; если же перейти к осреднению с «окном» порядка представительного макрообъема, то корреляция может и исчезнуть. Этот характерный размер (масштаб), на котором указанная корреляция имеет место, будем называть «радиусом корреляции».

К «кинематическому» отличию здесь мы будем относить расширение степеней свободы континуума. Наиболее общим вариантом ОК по отношению к этой составляющей, как представляется, являются модели с конечным числом внутренних переменных произвольной природы и (тензорной) размерности, характеризующих микроструктуру материала, дислокационную субструктуру и т.д. В частности, при соответствующей физической трактовке к внутренним переменным можно отнести меры вращательных степеней свободы (континуум Коссера), микродеформаций (микроморфные континуумы), вторые и более высокого порядка градиенты вектора перемещений (материалы 2-го и более высоких порядков; материалы 2-го порядка в литературе часто называют градиентными). Следует отметить, что в этом случае в теории могут появиться термодинамически сопряженные новым кинематическим параметрам силовые факторы, т.е. появляется и «динамическое» отличие.

В каких же случаях возникает потребность во введении дополнительных степеней свободы? Во-первых, есть чисто формальная причина их возникновения при использовании термодинамического подхода к формулировке конститутивной модели – необходимость выполнения термодинамических ограничений и для континуумов с расширенными силовыми взаимодействиями, в силу чего появляются сопряженные с ними кинематические характеристики. Во-вторых, это связано с необходимостью рассмотрения изменения микроструктуры при сохранении возможности решать краевые задачи для реальных физических объектов, рассматриваемых в рамках континуального представления.

Рассмотрение ОК начнем с модели Койтера (МК) [17] как наиболее простой модели ОК. По существу, в этой модели учтен только первый, «динамический» аспект. Пусть на тело В, занимающее в актуальной конфигурации область с границей , действуют объемные (массовые) силы и моменты , поверхностные силы и моменты . Тогда уравнения равновесия имеют обычный вид:

где – плотность, r – радиус-вектор точки. Далее обычным образом (рассматривая равновесие материального тетраэдра и устремляя его размеры к нулю) можно доказать теорему Коши и ее аналог для моментных напряжений:

где – (несимметричный) тензор напряжений Коши и тензор моментных напряжений, соответственно, – вектор напряжений и вектор моментных напряжений, действующие на площадку с единичной внешней нормалью n. Отметим, что использованные в приведенных выше соотношениях величины имеют следующие размерности: [ ]= н/кг, [ ]=Па, [ ]=н·м/кг, [ ]= Па·м. Соотношение справедливо и для элементов поверхности тела, где оно приобретает следующий вид:

,

где , – заданные распределенные поверхностные силы и моменты.

Предполагая тензоры напряжений и моментных напряжений дифференцируемыми функциями координат, из с учетом , теоремы Гаусса – Остроградского и произвольности объема, получаем уравнения равновесия:

где – оператор Гамильтона (в актуальной конфигурации), – тензор Леви–Чивита. Заметим, что никаких кинематических соображений при выводе уравнений равновесия не использовалось, совершенно аналогичными последние будут и для континуума Коссера.

Тензор напряжений Коши можно представить суммой симметричной и антисимметричной частей:

,

при этом антисимметричная часть может быть выражена из уравнения следующим соотношением:

.

Тензор моментных напряжений можно представить разложением на девиаторную и шаровую части:

где g – единичный тензор, I₁ – первый инвариант. Заметим, что физический смысл такого представления в статье [17] не обсуждается; вероятно, это сделано только с целью исключения из дальнейшего рассмотрения первого инварианта моментных напряжений. Тогда с использованием – от уравнений равновесия – можно перейти к одному (векторному) уравнению равновесия:

.

Несколько забегая вперед, отметим, что при подстановке ОС в получим дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно скоростей перемещений, что, в свою очередь, требует увеличения числа граничных условий до 6 в каждой точке поверхности тела. Как оказывается, это не совсем так, в цитируемой работе показано, что число кинематических граничных условий (в скалярной форме) равно 5.

Кратко остановимся на кинематике. В модели Койтера, как и в любом КлК, вводятся перемещения u и скорости перемещений v, причем эти величины следует трактовать как осредненные параметры по микрочастицам скользящего представительного объема, отнесенные к его центру масс. По этим полям можно обычным образом определить тензор малых деформаций и тензор деформации скорости соответственно:

.

Аналогично кинематике КлК можно ввести тензор вихря W и ассоциированный с ним вектор угловой скорости :

,

причем в модели Койтера именно последний вектор отвечает за поворотную моду и является сопряженным вектором к вектору объемных моментов. Иначе говоря, модель Койтера представляет собой так называемый псевдоконтинуум Коссера. Напомним, что тензор W (а следовательно, и ассоциированный с ним вектор угловой скорости) определяет угловую скорость движения материальных волокон, совпадающих в текущий момент времени с главными осями тензора деформации скорости D [31].

Введем также (транспонированный) градиент вектора угловой скорости, являющийся материальной производной так называемого тензора кривизн – кручений :

.

Учитывая геометрический смысл тензора вихря W (а следовательно, ассоциированного с ним вектора ) и полагая поле градиентов вектора скорости перемещений достаточно гладким, можно трактовать тензор кривизн – кручений как меру относительного вращательного движения двух бесконечно близких триэдров материальных волокон, направленных вдоль главных векторов тензора деформации скорости. Тензор , как нетрудно показать, является девиатором и несимметричным тензором. Таким образом, наряду с представлением движения частицы суммой мгновенных трансляционного движения, квазижесткого поворота и «чистого» деформирования (теорема Коши-Гельмгольца), в псевдоконтинууме Коссера появляется еще одно деформационное движение, характеризуемое тензором кривизн – кручений.

Используя соотношения –, –, можно показать, что скорость совершения работы над каждой материальной частицей определяется соотношением:

.

Для упругого материала этим соотношением выражается и скорость изменения внутренней энергии, что в дальнейшем используется для построения определяющих соотношений (гиперупругих или упругих по Грину).

Согласно определению гиперупругого (по Грину) материала существует упругий потенциал П, являющийся скалярной функцией мер деформированного состояния, такой, что ее производная по времени равна скорости изменения удельной (на единицу объема) механической работы. Общий вид П следует из :

П = П ( ).

Если вид потенциала известен, определяющие соотношения гиперупругого материала легко устанавливаются:

.

Предполагая изотропию материала, приходим к требованию, чтобы потенциал был только функцией квадратичных главных инвариантов мер деформации, т.е. , причем третий из перечисленных инвариантов нарушает условие изотропии и поэтому должен быть исключен из рассмотрения. Тогда в предположении малых деформаций получаем по аналогии с потенциалом для классической гиперупругой среды:

где G – модуль сдвига, – коэффициент Пуассона, l – так называемый характерный размер материала (о котором мы поговорим несколько позднее), – безразмерная величина (в работе Койтера она называется аналогом коэффициента Пуассона). При этом из требования положительной определенности потенциала вытекают следующие ограничения на материальные константы: G>0, 0< <0.5, -1< <1, l – вещественное число. Из – легко получаются определяющие соотношения следующего вида:

.

Остановимся на анализе параметра l – характерного размера материала. Напомним, что является градиентом вектора поворота, т.е. первой производной по координатам вектора поворота. Тогда l можно трактовать как приращение этого вектора поворота на характерном размере, а еще одно умножение на этот размер (вкупе с умножением на модуль упругости) дает момент на этом же масштабе. Тогда l представляется возможным отождествить с упомянутым выше радиусом корреляции. По крайней мере, это не противоречит качественной картине – при стремлении радиуса корреляции к нулю моментные напряжения, как и должно быть, стремятся к нулевым. При этом надо иметь в виду, что, поскольку рассмотрение осуществляется на одном масштабном уровне, при решении задач численными или аналитическими методами следует оперировать размерами, не превосходящими радиус корреляции. В случае неупругого деформирования радиус корреляции, вероятно, становится функционалом процесса, и для него потребуется формулировка эволюционного уравнения.

Остановимся на анализе параметра , для чего рассмотрим соотношение ₂ в компонентной форме. Напомним физический смысл компонент тензора моментных напряжений и геометрический смысл компонент тензора кривизн – кручений [26]; компоненты будем определять в ортонормированном базисе i_k (k= ) декартовой системы координат Ох₁х₂х₃. Компоненты характеризуют изменение вдоль оси Ох_i угла кручения материального объема вокруг той же оси Ох_i. Компоненты характеризуют изменение угла поворота вокруг оси Ох_i вдоль координаты х_j, т.е. изгиб материального волокна, расположенного вдоль оси Ох_j вокруг оси Ох_i.

Компоненты моментных напряжений определяют действующую на единицу площадки, перпендикулярной оси Ох_i , пару сил, закручивающую материальное волокно вокруг той же оси Ох_i. Компоненты тензора моментных напряжений определяют действующую на единичную площадку, перпендикулярную оси Ох_i , пару сил, изгибающую материальный отрезок вокруг оси Ох_j.

Для диагональных компонент девиатора моментных напряжений получим:

.

Если известен характерный размер материала, то с использованием любого из этих соотношений экспериментально может быть определен параметр ; однако его физический смысл при этом остается невыясненным.

Для недиагональных компонент имеем:

Предположим, что грань с нормалью i_j подвергается изгибу вокруг оси i_i , тогда если грань с нормалью i_i свободна от изгибающего момента вокруг оси i_j, т.е. =0, то эта свободная грань будет испытывать изгиб вокруг оси i_j на величину . Таким образом, действительно имеет место определенная аналогия с коэффициентом Пуассона в классической теории упругости, однако – с заменой диагональных компонент мер напряженного и деформированного состояния на недиагональные компоненты.

Как уже отмечено выше, основные соотношения теории Койтера совпадают с уравнениями широко известного континуума Коссера [83]. Однако в модели Коссера вращательная степень свободы вводится независимо от классической кинематики сплошной среды, т.е. каждой материально частице наряду с поступательными степенями свободы придается возможность совершать независимые вращательные движения, скорость поворота обозначается (аналогично принятому выше обозначению в модели Койтера) ω. Для формулировки ОС упругого материала, как правило, используется формализм, идентичный рассмотренному выше.

В последние 10–15 лет опубликовано значительное число работ, в которых предложены различные варианты расширения континуума Коссера на процессы неупругого деформирования, остановимся на одной из них [94]. В статье принято несколько иное определение тензора деформации скорости – в духе классических соотношений континуума Коссера (записанных в терминах градиента вектора перемещений) D определяется как сумма градиента скорости перемещений и градиента вектора скорости поворота, т.е. является несимметричным тензором 2-го ранга; здесь не будем останавливаться на деталях изложения кинематики, уделив главное внимание процедуре формулировки ОС для пластической составляющей меры скорости деформации. По аналогии с часто используемой для классических неупругих сред для континуума Коссера предполагается приемлемой гипотеза об аддитивности скоростей упругих и неупругих составляющих мер скоростей деформаций:

.

Для пластической составляющей тензора деформации скорости принимается обычная гипотеза несжимаемости, так что . Для определения и в случае неассоциированной модели вводится пластический потенциал и функция текучести; для ассоциированного закона достаточно ввести функцию текучести, здесь воспользуемся ассоциированным законом. В этом случае также возможны два варианта – либо использовать одну функцию текучести для определения пластических составляющих тензора деформации скорости и тензора скорости кривизн–кручений, либо ввести две функции текучести и . В первом варианте функция текучести предлагается в виде:

– обобщенное «напряжение течения», – накопленная мера неупругой деформации,

Используя принцип градиентальности, с учетом получаем искомые ОС:

.

Аналогичным образом с применением принципа градиентальности осуществляется формулировка ОС для варианта с двумя функциями, вывод которых предоставляется читателю. В последние 10-15 лет наблюдается устойчивый рост интереса к различным неклассическим континуумам, в частности, к градиентным моделям (материалам второго порядка), в том числе – в рамках физических теорий пластичности; с кратким обзором публикаций по этой тематике интересующийся читатель может познакомиться по статье [47].