Вопрос 8. При каких значениях статистики Фишера нулевая гипотеза отвергается, и какова вероятность того, что мы отвергнем верную гипотезу?

Ответ

Применение критериев, основанных на статистиках, имеющих при нулевой гипотезе -распределение Фишера (F-критерии), отнюдь не ограничивается только что рассмотренным анализом статистической значимости регрессии. Такие критерии широко применяются в процессе подбора модели.

Пусть мы находимся в рамках множественной линейной модели регрессии

c объясняющими переменными, и гипотеза состоит в том, что в модели последние коэффициентов равны нулю, т. е.

Тогда при гипотезе (т. е. в случае, когда она верна) мы имеем редуцированную модель

уже с объясняющими переменными.

Пусть - остаточная сумма квадратов в полной модели , а — остаточная сумма квадратов в редуцированной модели . Если гипотеза верна и выполнены стандартные предположения о модели (в частности, ~ i. i. d. ), то тогда F-статистика

рассматриваемая как случайная величина, имеет при гипотезе H₀ (т. е. когда действительно q _{p =} q _{p-1 =} ¼= q _p-q+1= 0) F-распределение Фишера F (q, n-p) с q и (n-p) степенями свободы.

В рассмотренном ранее случае проверки значимости регрессии в целом мы имели , и при этом там имело равенство которое не выполняется в общем случае.

Пусть — сумма квадратов, объясняемая полной моделью ,

— сумма квадратов, объясняемая редуцированной моделью .

Тогда

так что -статистику можно записать в виде

из которого следует, что F-статистика измеряет, в Соответствующем масштабе, возрастание объясненной суммы квадратов вследствие включения в модель дополнительного количества объясняющих переменных.

Естественно считать, что включение дополнительных переменных существенно, если указанное возрастание объясненной суммы квадратов достаточно велико. Это приводит нас к критерию проверки гипотезы

основанному на F-статистике

и отвергающему гипотезу , когда наблюдаемое значение этой статистики удовлетворяет неравенству

где — выбранный уровень значимости критерия (вероятность ошибки 1-го рода).

Вопрос 9. Какая из трех нулевых гипотезе , , является простой, а какая – сложной?.

Ответ:

является сложной

,

гетероскедастичность автокоррелированность детерминация

является простой

Вопрос 10. Что такое гетероскедастичность и автокоррелированность ошибок?

Ответ

Неоднородность дисперсий ошибок (гетероскедастичность, heteroscedasticity). Этот вид нарушений стандартных предположений характерен для статистических данных, относящихся к одному моменту времени, но собранных по различным регионам, различным предприятиям, различным социальным группам (данные в сечениях, cross-section data). Неоднородность дисперсий возникает также как результат тех или иных структурных изменений в экономике, например связанных с мировыми экономическими кризисами. Последний пример как раз и иллюстрирует подобную ситуацию: резкое возрастание абсолютных величин остатков в этом примере относится к периоду глобального нефтяного кризиса.

Последствия неоднородности дисперсий ошибок:

• Оценки дисперсий случайных величин (оценок коэффициентов линейной модели) оказываются смещенными.

• Построенные доверительные интервалы для не Соответствуют заявленным уровням значимости.

• Вычисленные значения - и - отношений уже нельзя рассматривать как наблюдаемые значения случайных величин, имеющих - и -распределения, Соответствующие стандартным предположениям. Поэтому сравнение вычисленных значений - и - отношений с квантилями указанных - и -распределений может приводить к ошибочным статистическим выводам в отношении гипотез о значениях коэффициентов линейной модели.

Автокоррелированность (сериальная корреляция) ошибок (autocorrelation, serial correlation). Этот вид нарушений стандартных предположений характерен для статистических данных, развернутых во времени (продольные данные, longitudial data). Автокоррелированность ошибок обычно возникает вследствие направильной спецификации модели, например, при невключении в модель существенной объясняющей переменной с выраженной автокорреляцией.

Последствия автокоррелированности ошибок:

• Оценка дисперсии случайных ошибок смещена вниз в случае положительной и смещена вверх в случае отрицательной автокоррелированности ошибок.

• Оценки дисперсий случайных величин (оценок коэффициентов линейной модели) оказываются заниженными в случае положительной и завышенными в случае отрицательной автокоррелированности ошибок.

• Построенные доверительные интервалы для не Соответствуют заявленным уровням значимости: в случае положительной автокоррелированности ошибок построенные интервалы неоправденно узки, а в случае отрицательной автокоррелированности ошибок неоправданно широки.

• Вычисленные значения - и - отношений нельзя рассматривать как наблюдаемые значения случайных величин, имеющих - и -распределения, Соответствующие стандартным предположениям. Поэтому сравнение вычисленных значений - и - отношений с квантилями указанных - и -распределений может приводить к ошибочным статистическим выводам в отношении гипотез о значениях коэффициентов линейной модели. Вычисленные значения - и - отношений завышены в случае положительной и занижены в случае отрицательной автокоррелированности ошибок.

При обнаружении нарушений стандартных предположений следует либо улучшить спецификацию модели, привлекая подходящие дополнительные объясняющие переменные, либо использовать для оценивания коэффициентов и оценивания дисперсий коэффициентов модели специальные методы оценивания, принимающие во внимание обнаруженные нарушения (далее мы рассмотрим два таких метода: взвешенный метод наименьших квадратов и авторегрессионное преобразование переменных).

Размещено на Allbest.ru