5. Частные модели ошибок

Биномиальная модель. Наиболее простая для исследования — модель стационарного симметричного дискретного канала без памяти, распределение ошибок в котором носит независимый характер и подчиняется биномиальному закону:

где n — длина принятой последовательности/блока символов; k — общее число ошибок, p — вероятность ошибки в символе. Биномиальная модель полностью определяется заданием одного параметра p — вероятностью ошибки.

При этом вероятность искажения блока длиной m и вероятность его правильного приема:

Для биномиальной модели канала распределение длин интервалов ₀ между ошибками подчиняется геометрическому закону:

,

и процесс появления ошибок в канале может быть рассмотрен как процесс с мгновенным восстановлением — частный случай схемы B — или как процесс восстановления с конечным временем, тогда

,

где , l = 1,2... — длины серий правильных символов и ошибок.

Применение биномиальной модели приемлемо для стационарных каналов и при наличии аддитивной помехи типа белого шума. Большинство реальных каналов не может быть адекватно описано данной моделью.

Модель Гильберта. Модель является исторически первой моделью канала с памятью. Согласно этой модели канал может находиться в одном из двух состояний: S₀ — хорошем, когда ошибки невозможны, и S₁ — плохом, когда возникают независимые ошибки с вероятностью . Последовательность состояний образует простую цепь Маркова.

Модель Гильберта может быть рассмотрена как частный случай схемы M для N=2, ₀=0, ₁=. Статистика состояний , следовательно, определяется заданием матрицы переходов (рис. 2):

Поскольку p₀₀ + p₀₁=1 и p₁₀ + p₁₁=1, то достаточно задать любую пару вероятностей, расположенных в разных строках. Начальные вероятности

являющиеся (вследствие стационарности процесса) безусловными вероятностями состояний, определяются из следующей системы уравнений:

и соответственно равны

.

Статистика ошибок определяется заданием матрицы переходов и вероятности ошибки в плохом состоянии , т.е. заданием трех параметров: переходных вероятностей, например p₀₁, p₁₀ и вероятности . Отображение группирования ошибок в пакеты обусловливается соответствующим выбором переходных вероятностей: p₀₁<<p₀₀, p₁₀<<p₁₁, обеспечивающих сравнительную устойчивость каждого состояния.

Вероятность ошибки в канале, определяемая формулой

,

должна быть много меньше условной вероятности ошибки в пакете: p<<, поэтому должно выполняться также условие p₀₁<p₁₀.

Вероятность возникновения пакета/промежутка, определяемая формулой

при группировании ошибок больше вероятности p, поэтому p₁₀<.

Модель Гильберта может быть получена и из схемы B, если рассматривать последовательность состояний , являющуюся простой двоичной цепью Маркова, как процесс восстановления с конечным временем, для которого

,

при этом статистика ошибок полностью определяется заданием P(), P(l), , или как процесс с мгновенным восстановлением, для которого

при этом определяется заданием P(₀), .

Частный случай модели Гильберта при =1 представляет последовательность ошибок , описываемую простой цепью Маркова (статистика состояний совпадает со статистикой ошибок) и определяемую заданием двух параметров, например переходных вероятностей p₀₁, p₁₀. Полагая p₀₁=p₁₁ и p₁₀=p₀₀, получим канал без памяти.

Возможности обобщения. Модель Гильберта является наиболее простой моделью на пути отображения памяти, существующей в реальных каналах. Эта модель позволяет учесть группирование ошибок в пакеты, но не позволяет отобразить группирование самих пакетов и полигеометрический характер распределения их длин. Дальнейшие обобщения модели Гильберта на основе использования аппарата цепей Маркова возможны в трех направлениях:

1) допущением возможности ошибок в обоих состояниях, тогда статистика ошибок определяется заданием четырех параметров: двумя вероятностями переходов и двумя условными вероятностями ₀, ₁ — модель Эллиота-Гильберта (при таком описании предположение о независимости длин пакетов и промежутков более оправдано, т.к. возможно считать пакеты и промежутки более длинными);

2) увеличением числа состояний, например, согласно модели Смита-Боуэна-Джойса, канал имеет три состояния, одно из которых S₂ — плохое и в нем возникают независимые ошибки с вероятностью ₂0,5 (соответствует пакетам ошибок), другие два состояния S₀, S₁ — хорошие и в них ошибки возможны, но имеют меньшие и не обязательно одинаковые вероятности (соответствуют промежуткам между пакетами и промежуткам между группами пакетов, для группирования пакетов следует положить p₀₂<<p₁₂), переход из одного хорошего состояния в другое невозможен p₀₁=p₁₀=0, что упрощает выражения для безусловных вероятностей состояний, определяющих вероятность ошибки:

p = ₀P₀ + ₁P₁ + ₂P₂,

3) увеличением k — связности марковской цепи состояний, например, по модели Петровича последовательность S₀ - хороших и S₁ - плохих состояний является двусвязной цепью Маркова, однако с увеличением k принципиально простые вычисления становятся весьма громоздкими.

Модель Эллиота. Наиболее общая модель I группы, в которой последовательность рассматривается как процесс с мгновенным восстановлением, полностью определяемый одномерным распределением P(₀) длин интервалов между ошибками. В модели Эллиота P(₀) предлагается определять непосредственно по экспериментальным данным.

Характеристики последовательности удобно получить из общих формул схемы B, когда P(l) - геометрично, ₀=0, ₁=1. В частности, вероятность ошибки

,

где — средняя длина безошибочного интервала ₀=0,1,...; — средние длины безошибочной серии =1,2,... и серии ошибок l=1,2,....

Представление потока ошибок в виде процесса восстановления позволяет соответствующим подбором P(₀) учесть достаточно большую вероятность появления малых интервалов, характерных для пакетов ошибок, и больших интервалов, характерных для промежутков между пакетами, т.е. отобразить в какой-то мере процесс появления пакетов/групп ошибок. В частности, в модели Бергера-Мандельброта для аппроксимации распределения P(₀) используется известное распределение Парето, в модели Брусиловского — распределение Вейбулла, в модели Аксенова-Воронина — обобщенный экспоненциальный закон. Известны и другие распределения /.../, позволяющие имитировать реальный поток ошибок, характерный для некоторых видов каналов. Однако лежащее в основе моделей этой группы предположение о независимости длин интервалов между ошибками, приводящее к предположению о геометричности распределения длин серий ошибок, противоречит экспериментальным данным для многих реальных каналов.

Модель Беннета-Фройлиха. Относится к группе моделей, оперирующих понятием пакета ошибок. Любая позиция может стать началом пакета с постоянной вероятностью p_П, независящей от того, на каких других позициях возникли пакеты (пакеты возникают независимо, допустимо перекрытие и примыкание пакетов). Пакет имеет длину l с вероятностью P(l), не зависящей от длин других пакетов. В пределах пакета ошибки возникают независимо с вероятностью . Вне пакета ошибки невозможны. В таком интервально-символьном представлении модель Беннета-Фройлиха задается вероятностями p_П,  и распределением P(l).

Так как длины интервалов  между началами пакетов независимы, как всякие интервалы между независимыми событиями, а длины пакетов l независимы и не зависят от  по определению, то модель Беннета-Фройлиха может быть рассмотрена как частный случай схемы H, когда распределение длин интервалов между началами пакетов геометрично: а распределение длин пакетов P(l) произвольно. На практике распределение P(l) обычно аппроксимируют суммой нескольких геометрических прогрессий (или одной). Дополнительное предположение о независимости возникновения пакетов, геометричности P() упрощает проведение некоторых расчетов в сравнении с общей схемой H, но для большинства характеристик последовательности расчеты остаются громоздкими.

Если пренебречь возможностью перекрытия пакетов и предположить, что распределение P(l) геометрично, то модель Беннета-Фройлиха сводится к модели Гильберта с параметрами

а если пренебречь также и примыканием пакетов, то с параметрами:

.

Удобной модификацией модели Беннета-Фройлиха является модель Мизина-Муравьева, согласно которой пакеты возникают лишь в тех позициях, которые не принадлежат и не примыкают к другим пакетам (перекрытие и примыкание пакетов невозможны, что существенно упрощает расчеты). Эта модель может быть определена заданием условных вероятностей p_П — возникновения пакета в определенной позиции (p_П=p₀₁),  — возникновения ошибки в пакете и распределением длин пакетов P(l). Поскольку при этом длины промежутков между пакетами независимы в совокупности и их распределение геометрично, то модель Мизина-Муравьева может быть получена из общей схемы B, если положить

, где .

Обобщением модели Беннета-Фройлиха является модель Попова-Турина, в которой допускается группирование самих пакетов в цепочки сложной структуры. Модель задается вероятностью возникновения цепочки p_Ц, вероятностью появления пакета внутри цепочки p_П, вероятностью ошибки внутри пакета  и распределением длин цепочек и пакетов P(l_ц), P(l_П), которые в общем случае могут быть произвольными. Однако согласие рассматриваемой модели с экспериментальными данными (в некоторых стандартных телефонных каналах) было достигнуто в предположении, что распределение цепочек, состоящих из независимых пакетов, подчиняется геометрическому закону, а распределение длин пакетов является суммой трех геометрических прогрессий. При этом модель задается девятью параметрами и приводит к довольно сложным вычислениям.

Общим недостатком всей группы пакетных моделей следует считать неопределенность таких понятий, как пакет или цепочка пакетов. В пакет объединяются все ошибки, интервал между которыми не превышает некоторой величины _П, называемой интервалом объединения. Выбор _П чаще всего не обосновывается и величина _П колеблется для разных моделей в диапазоне от 5 до 25 разрядов. В то же время распределение пакетов по длине, а также распределение ошибок внутри пакета существенно зависят от интервала объединения. Ошибки внутри пакета оказываются независимыми лишь при малом интервале (6-8 разрядов), что характерно, например, для телефонных каналов с кратковременными перерывами, но далеко не для всех видов каналов.

Модель Пуртова. Модель представляет собой наиболее часто используемый в инженерных расчетах способ частичного описания потока ошибок с помощью двух параметров: p - вероятности ошибки в двоичном символе и  - показателя/коэффициента группирования ошибок, отражающего среднюю плотность ошибок (m) на интервале/в блоке фиксированной длины m, содержащем одну или более ошибок.

Плотность ошибок (m) определяется как математическое ожидание числа ошибок на указанном интервале:

а коэффициент группирования  определяется через предельное значение плотности ошибок:

где P(k,m) - вероятность того, что на интервале/блоке длиной m появится k ошибок; P(1,m) - вероятность искажения блока. Если такой предел существует, то канал называют каналом с логарифмически-линейной плотностью, имеющим коэффициент группирования ошибок . Экспериментально установлено, что для большинства реальных каналов может быть рассчитан коэффициент группирования. Для расчета коэффициента  можно использовать упрощенную формулу вычисления (m):

откуда получаем соотношение

поясняющее физический смысл коэффициента , как характеризующего степень возрастания вероятности P(1,m) с увеличением m. При =0 имеем канал с независимыми ошибками, при =1 — гипотетический канал, когда все ошибки сосредоточены в одной группе. Используя последнее соотношение, определим формулу для инженерных расчетов коэффициента группирования:

где k1 - количество искажений блоков длиной m бит; k - общее количество ошибок во всех искаженных блоках.

Особая ценность этого подхода — в достаточно полном экспериментальном обосновании возможности единообразного описания каналов разного вида. Полученные результаты прошли многократную проверку и для различных каналов были найдены значения средней вероятности ошибки p и показателя группирования  (см. таблицу).

№ п/п	Тип канала	Средняя частость ошибок	Показатель группирования
1	Кабельный телефонный выделенный	(25)10-410-5	0,60,8
2	Кабельный телефонный коммутируемый ГАТС	(23)10-3	0,320,34
3	Радиорелейный телефонный	(37)10-4	0,550,6
4	Тропосферный телефонный	710-4	0,44
5	Радиотелеграфный КВ-канал	210-2310-4	0,320,45